Оценка расстояния между корнями многочлена по коэффициентам

[orange_king]

Уравнение:
$x^n - p_1*x^{n-1}-p_2*x^{n-2}-...-p_n = 0$
Существует ли зависимость между расстояниями между соседними корнями и значениями $p_1,p_2,...,p_n $
Другими словами насколько малым может быть расстояние между корнями.
Есть хоть какая-нибудь (пусть и достаточная грубая) оценка или критерий.
P.S:
Хотелось бы выбрать минимальный шаг для поиска начальных приближений, а потом решать методом дихотомии ( золотого сечения, ... или как нибудь ещё ).

[venco]

Корни могут совпадать, и вряд ли можно просто проверить совпадают ли они, не говоря уж о расстоянии.
Но, если корни не совпадают, можно воспользоваться тем, что корни находятся по одному между корнями производной, плюс один до и один после крайних корней.
Т.е. корень (n-1)-ной производной - $x_{n-1,1}=\frac{p_1}n$. Два корня (n-2)-ой производной будут лежать до и после $x_{n-1,1}$ - можно найти методом деления пополам. Корни производных меньшего порядка, и в конце концов - самого полинома, ищутся таким же способом.
Если какие-то корни совпадают, то возникают сложности...

[ИСН]

Совпадение-то выявляется по НОДу самого многочлена и его производной. А вот близки они могут быть как угодно, и с этим всё плохо.

[RIP]

Если кратных корней нет, то есть теорема Малера:
Для любых двух различных корней $\alpha$ и $\beta$ выполнено неравенство
$|\alpha-\beta|>\sqrt{3D}\max\{1;|\alpha|;|\beta|\}n^{-n/2-1}L^{-n+1}$,
где $L=(1+|p_1|^2+\ldots+|p_n|^2)^{1/2}$, $D$ --- модуль дискриминанта Вашего многочлена.
Но вряд ли эту оценку удобно применять на практике.