Уравнение на N

[Mathusic]

Не Ферма, но может кому понравится.
Найти натуральные решения уравнения:
$\frac{1}{a^k_1}+...+\frac{1}{a^k_n}=1, k \in \mathbb N$, где все аитые различны, т.е.
$i \not = j \Rightarrow a_i \not =a_j$.
Зы
Хотя надо было бы это в олимпиадные кинуть...

[venco]

Для $k=1$ довольно легко можно найти много решений.
А для $k>1$, очевидно, решений нет, кроме тривиального - одной единицы.

[age]

Mathusic
venco прав. Производя элементарные преобразования получим:
$\dfrac{1}{a^k}+\dfrac{1}{b^k}+...+\dfrac{1}{p^k}=\dfrac{a^k+b^k+...+p^k}{a^kb^k...p^k}=1$.
Откуда
$a^k+b^k+...+p^k=a^kb^k...p^k$.
Для трех слагаемых при $k=1$ данное уравнение имеет решение
$\dfrac12+\dfrac13+\dfrac16=1$.
но искать их при $k>1$ сложно и долго.

[venco]

age, у вас в сообщении куча ошибок, кроме первого высказывания.
Во первых, вы неправильно сложили дроби.
Во вторых, для $k>1$ решение искать не просто "сложно и долго", а вообще невозможно, т.к. в этом случае $\sum\limits_{i=2}^{\infty}{\frac 1{i^k}<1$

[Nilenbert]

age в сообщении #261788 писал(а):

но искать их при $k>1$ сложно и долго.

При $k>1$ таких решений, кроме тривиального $1=\frac{1}{1^k}$, просто нету, так как:

$$ \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{a_j^k}<\sum_{j=2}^{\infty}\frac{1}{j^k}\le \sum_{j=2}^{\infty}\frac{1}{j^2}=\frac{\pi^2}{6}-1<1 $$

[age]

venco
Да, дроби сложены неправильно. Во втором случае не увидел, что обязательно различны. Если некоторые могут совпадать, решения есть при любых $k$. К тому же так интереснее!

[Коровьев]

Nilenbert в сообщении #261794 писал(а):

age в сообщении #261788 писал(а):

но искать их при $k>1$ сложно и долго.

При $k>1$ таких решений, кроме тривиального $1=\frac{1}{1^k}$, просто нету, так как:

$$ \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{a_j^k}<\sum_{j=2}^{\infty}\frac{1}{j^k}\le \sum_{j=2}^{\infty}\frac{1}{j^2}=\frac{\pi^2}{6}-1<1 $$

Красиво и оригинально! $+5$

[Mathusic]

age в сообщении #261803 писал(а):

venco
Да, дроби сложены неправильно. Во втором случае не увидел, что обязательно различны. Если некоторые могут совпадать, решения есть при любых $k$. К тому же так интереснее!

Если числа могут совпадать, то нахождение общего решения становится, имхо, очень нелёгким.

[age]

Кстати, чтобы окончательно решить данную задачу, добавлю:
при $n>3$ уравнение:
$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_n}=1$
решений не имеет, если $a_i$ - различны.

[venco]

age в сообщении #261814 писал(а):

Кстати, чтобы окончательно решить данную задачу, добавлю:
при $n>3$ уравнение:
$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_n}=1$
решений не имеет, если $k>1$, если $a_i$ - различны.

И где тут $k$?

[Nilenbert]

age в сообщении #261814 писал(а):

Кстати, чтобы окончательно решить данную задачу, добавлю:
при $n>3$ уравнение:
$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_n}=1$
решений не имеет, если $a_i$ - различны.

Враньё. Вот, например при $n=9$:

$$ \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{45}+\frac{1}{231}=1 $$

[tolstopuz]

Nilenbert в сообщении #261794 писал(а):

При $k>1$ таких решений, кроме тривиального $1=\frac{1}{1^k}$, просто нету

Чтобы было чем заняться, можно заменить $1$ на $\frac 1 2$

[Nilenbert]

tolstopuz в сообщении #262308 писал(а):

Чтобы было чем заняться, можно заменить $1$ на $\frac 1 2$

Пришлось повозиться, но вот пример:

$$ \frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{12^2}+\frac{1}{25^2}+\frac{1}{125^2}+\frac{1}{750^2}+\frac{1}{1500^2}+\frac{1}{1875^2}+\frac{1}{2500^2} $$

[tolstopuz]

Nilenbert в сообщении #262380 писал(а):

Пришлось повозиться, но вот пример:

Здесь красивее

http://projecteuler.net/index.php?secti ... ems&id=152

[maxal]

Верно ли, что любое рациональное число меньшее $\frac{\pi^2}{6}$ можно представить конечной суммой квадратов обратных к различным натуральным числам?