Диффуры с разделяемыми переменными

[Nicolius]

Здравствуйте.

Поступил в иностранный вуз. Дали сегодня домашний экзамен, в котором встречаются (пауза) диффуры.
Здесь их преподают в колледже, я с ними не встречался вообще.
Требуется решить $x'(t) - x(t)^2 = 1$ c initial solution $x(0) = 1$.

Рад буду любой подсказке.

Со временем разобрался, что есть класс уравнений с разделённой переменной (перевожу дословно), где интегрируются обе стороны уравнения. Судя по всему, здесь требуется именно это, и по (моей) логике получается, что нужно подвести уравнение, так чтоб:

$x'(t) = f(t)\\ \int [x(t)]' dx = \int f(t) dt = F(t) \\ x(t) = F(t)$

Если я рассудил правильно, то $x' = 1+x(t)^2$, следовательно $x = \int 1+[x(t)]^2 d[x(t)]$.

Здесь логика прерывается. Не совсем понятно, что делать дальше.

Пробовал решать с дифференциалами:
$\frac{dx}{dt} = 1 + x^2$
Не помню точно как, но получилось, что $x(t) = \arctan{t} + C$, но числовое решение было далеко от графы arctan'a.


Сдавать завтра.

Заранее благодарю.

[EtCetera]

Арктангенс и должен получаться, только немного не такой:
$\dfrac{dx}{dt}=1+x^2$
$\dfrac{dx}{1+x^2}=dt$
$\arctan x=t+C$, где $C$ - константа.
Остается дело за малым - выразить $x$ через $t$ в виде $x(t)=...$ и учесть начальные условия.

[Nicolius]

Большое спасибо. Теперь сомнений на порядок меньше.
Т.е.
$\tan{(\arctan{x(t)})} = \tan{(t+C)} = x(t)$

И учитывая x(0) = 1

\begin{align*} \tan{(0+C)} &= \tan{(C)}\\ \tan{(C)} &= 1 \\ C &= \arctan{(1)} \\ x(t) &= \tan{(t + \arctan{(1)})} \end{align*}

[EtCetera]

Nicolius

Nicolius в сообщении #262230 писал(а):

Т.е.
$\tan{(\arctan{x(t)})} = \tan{(t+C)} = x(t)$

Да. Теперь нужно разобраться с начальными условиями.