Обобщенные функции

[Ashley]

Что-то я заблудился в двух соснах.
Обобщенная вторая производная функции $x(t)=|t|$ равна $\delta(t)$, так? А первая тогда - функция Хевисайда? Но разве она [первая производная] не должна быть сингулярной?

[ewert]

А почему, собссно?... Сингулярные функции -- это те, задаваемый которыми функционал не определяется интегралом от обычных функций. Про Хэвисайда этого никак не скажешь.

[Ashley]

Ясно. Просто некстати всплыло со школы откуда-то: "$x(t)=|t|$ не имеет производной в нуле". Да-да-да, имеет значит, и нисколько не обобщенную
*боже, о чем я думал когда это писал*

[ewert]

Нет, строго говоря -- имеет как раз обобщённую. А не обычную, которая в нуле не определена. Просто для обобщённой производной её неопределённость в отдельной точке никому неинтересна.

[Ashley]

Эта первая производная есть функция Хевисайда везде, кроме нуля, в котором не определена как обычная функция, так? Но она не выражается в нуле и через дельту. Как обобщенная функция она в нуле все равно не определена же. Почему тогда она именно обобщенная, а не обычная?
Upd: *Ах, да, ясно*

[Gafield]

Цитата:

Обобщенная вторая производная функции $x(t)=|t|$ равна $\delta(t)$, так?

Равна $2\delta(t)$.

[ewert]

Ashley в сообщении #262102 писал(а):

Как обобщенная функция она в нуле все равно не определена же. Почему тогда она именно обобщенная, а не обычная?
Upd: *Ах, да, ясно*

Не уверен,что ясно. Тут некоторая путаница в терминологии.

"Обобщённая функция" -- это вообще-то не функция, а функционал. Который, в частности, может задаваться интегралом от обычной функции (на пробную). Тогда эта обобщённая функция называется регулярной и отождествляется с той самой обычной.

"Обобщённая производная" -- понятие родственное, но всё же другое. Это -- всегда обычная функция, которую формально можно определить так: это производная в смысле обобщённых функций при условии, что она регулярна.

Однако интегралы не чувствуют изменений на множествах меры ноль. Соответственно, и обобщённая производная определена лишь с точностью до множества меры ноль. В частности, функцию Хевисайда можно доопределять или переопределять в нуле как угодно, или считать её в нуле вообще неопределённой -- от этого она как обобщённая производная модуля не изменится.
(ну т.е. половины модуля со сдвигом, но это не важно...)