Многочлен с заданными значениями в заданных узлах.

[Анти]

Пусть существуют $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \mathbb{Z}$. Всегда ли можно предъявить многочлен
$f$ некоторой степени с целыми коэффициентами, чтобы
$f(a_1)=b_1, f(a_2)=b_2, f(a_3)=b_3$? Для второй
степени из формулы Лагранжа следует, что не всегда. А для
степеней, больших 2?

[незваный гость]

Разумеется, не всегда. Возьмите $a_1 = 0, \, b_1 =\pi$. И все окончится.

[Анти]

Не совсем понял, почему $\pi \in \mathbb{Z}$...

[maxal]

Анти писал(а):

Пусть существуют a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \mathbb{Z}. Всегда ли можно предъявить многочлен
f некоторой степени с целыми коэффициентами, чтобы
f(a_1)=b_1, f(a_2)=b_2, f(a_3)=b_3?

Нет, не всегда.
Например, для любого полинома с целыми коэффициентами имеем $a_1 - a_2\mid f(a_1)-f(a_2)$. Поэтому, если $b_1-b_2$ не делится на $a_1-a_2$, то искомого полинома не существует.

[незваный гость]

Анти писал(а):

Не совсем понял, почему $\pi \in \mathbb{Z}$...

Виноват-с. Попутал лукавый, $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{C}$ смешал.

[Анти]

maxal писал(а):

Например, для любого полинома с целыми коэффициентами имеем $a_1 - a_2\mid f(a_1)-f(a_2)$.

Можно поподробнее этот момент? Что-то с утра не соображу.

[Елена К]

Анти писал(а):

Можно поподробнее этот момент? Что-то с утра не соображу.

$f(a_1)-f(a_2)$
Свободный член сокращается. Остальные члены:
$P_k\times(a_1^k-a_2^k)$,
делится на $a_1-a_2$, и так для любого $k$.

[Анти]

Ага. Спасибо!
Тоже, вроде, расписал, и всё получилось!