Показательное распределение

[ShMaxG]

Надо показать, что если случайные независимые величины $X_1,X_2,...,X_n$ имеют показательное распределение $\[{f_{{X_i}}}\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} {\lambda _i}\exp \left( { - {\lambda _i}x} \right),x \geqslant 0 \hfill \\ 0,x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $, то $\[{f_{\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}} }}\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}} \exp \left( { - \sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}} x} \right),x \geqslant 0 \hfill \\ 0,x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$.

Что-то так не выходит. Пусть $n=2$, тогда
$ \[{f_{{X_1} + {X_2}}}\left( u \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{f_{{X_1}}}\left( y \right){f_{{X_2}}}\left( {u - y} \right)dy} = \int\limits_0^u {{\lambda _1}\exp \left( { - {\lambda _1}x} \right){\lambda _2}\exp \left( { - {\lambda _2}\left( {u - y} \right)} \right)dy} = \frac{{{\lambda _1}{\lambda _2}}} {{{\lambda _2} - {\lambda _1}}}\left[ {\exp \left( { - u{\lambda _1}} \right) - \exp \left( { - u{\lambda _2}} \right)} \right]\]$

Есть ли где ошибка?

[bubu gaga]

А откуда такая формула для распределения суммы, если не секрет?

[ShMaxG]

Из условия задачи.

[ewert]

Ну, условие-то очевидно неверное, это и безо всякого интегрирования ясно. А проинтегрировали Вы вроде правильно.

[ShMaxG]

Так, ну как я понял надо было на самом деле показать, что

$\[{f_{\mathop {\min }\limits_{i = \overline {1,n} } \left( {{X_i}} \right)}}\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}} \exp \left( { - \sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}} x} \right),x \geqslant 0 \hfill \\ 0,x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $

Но пока что не представляю, как это делать.

[RIP]

Чему равна вероятность $P\{\min_iX_i\ge x\}$?

[ShMaxG]

RIP в сообщении #261982 писал(а):

Чему равна вероятность $P\{\min_iX_i\ge x\}$?

$\[P\left[ {\mathop {\min }\limits_{i = \overline {1,n} } \left( {{X_i}} \right) \geqslant x} \right] = \prod\limits_{i = 1}^n {P\left[ {{X_i} \geqslant x} \right]} \]$

-- Сб ноя 14, 2009 17:59:19 --

А, кажется понял:

$\[P\left[ {\mathop {\min }\limits_{i = \overline {1,n} } \left( {{X_i}} \right) \geqslant x} \right] = \prod\limits_{i = 1}^n {P\left[ {{X_i} \geqslant x} \right]} = \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {1 - P\left[ {{X_i} < x} \right]} \right)} = \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {1 - {F_{{X_i}}}\left( x \right)} \right)} = \prod\limits_{i = 1}^n {\exp \left[ { - {\lambda _i}x} \right]} \]$

Осталось поставить единичку с минусом и продифференцировать.

Спасибо.