ряды

[berendej]

помогите решить,никак не получается
Разложить функцию в ряд Тейлора:
x^3 e^x

Применение степенных рядов для отыскания частного решения дифференциального уравнения:
y''-y cosx=x
y(0)=1, y' (0)=0

Разложение функции в ряд Фурье:
F(x) = (π-x)/2, -π≤x≤π

Используя основные свойства рядов или ряд геометрической прогрессии или ряд Дирихле или признаки сравнения, исследовать ряд на сходимость:
$\sum_{n=1}^{\infty}{(sin^2(n\sqrt{n}))/n\sqrt{n}}$


Отыскать область сходимости функционального ряда и исследовать поведение на концах интервала сходимости:

\sum_{n=1}^{\infty}{(n*(x-5)^n)/5^n}

[p51x]

Где попытки решения? Что конкретно не понятно?

[AKM]

Перемещено в раздел "Помогите решить, разобраться."

Предлагаю автору ознакомиться с Правилами этого раздела и предъявить попытки решения.

$ F(x)=\frac{\pi-x}{2}$, $ -\pi\le x \le \pi$: $ F(x)=\frac{\pi-x}{2}$, $ -\pi\le x \le \pi$

[Sintanial]

1) В лоб раскладываете экспоненту в ряд
4) Так как у вас sin то он ограничен по модулю от -1 до 1. Но так как он в квадрате то ограничен от 0 до 1. Воспользовавшись признаком сравнения получим что исходный ряд меньше либо равен вот такому ряду $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac 1{n\sqrt{n}}}$ ну о поведении такова ряда я думаю вам известно
5) Воспользуйтесь формулой Коши-Адамара.... дальше концы полученного интервала подставляете за место икса и исследуете ряды на сходимость.

[berendej]

Используя формулу Коши-Адамара получаем,что радиус сходимости равен: $R=$\lim\limits_{n\to\infty}{\frac {n\cdot5^n^+^1} {5^n\cdot(n+1)}}=$\lim\limits_{n\to\infty}{\frac {5\cdotn} {n+1}}=5$
Значит интервал сходимости: (-R;R), т.е. (-5;5). Правильно?

[ewert]

Оно да, только вместо звёздочки надо потреблять \cdot, а предел записывать так:
$\lim\limits_{n\to\infty}$

$\lim\limits_{n\to\infty}$

(\limits -- это для того, чтоб условие перехода оказалось именно под знаком предела, так надёжнее)

[Trius]

berendej в сообщении #261291 писал(а):

Используя формулу Коши-Адамара получаем,что радиус сходимости равен: $R=$\lim\limits_{n\to\infty}{\frac {n\cdot5^n^+^1} {5^n\cdot(n+1)}}=$\lim\limits_{n\to\infty}{\frac {5\cdotn} {n+1}}=5$
Значит интервал сходимости: (-R;R), т.е. (-5;5). Правильно?

края проверять надо еще

[berendej]

ну насчет краёв и составления 2х интегралов я в курсе...правильно ли я определяю интервал сходимости? (-R;R)? Я где то видел формулу (a-R;a+R)... Просто если например подставим 5 вместо х, то получается,что ряд равен 0 и что в таком случае с этим делать? Он будет расходиться или сходиться,как определить?

[ИСН]

Определить с помощью головы и определения. Действительно, сходится ли ряд из одних нулей? Вот вопрос!

[ewert]

berendej в сообщении #261323 писал(а):

правильно ли я определяю интервал сходимости? (-R;R)? Я где то видел формулу (a-R;a+R)...

Во как, а я и не обратил внимания -- остановился на радиусе. Плохо, если Вы эту "формулу" всего лишь видели. Тут не формулы запоминать нужно, а понимать суть дела: область (гарантированной) сходимости определяется неравенством $|x-a|<R$, а уж что из этого будет следовать -- вопрос совсем следующий.

[berendej]

ewert, спасибо,я всё понял:)

[berendej]

Правильно ли я нашел частное решение дифура?
y=$C_0+C_1 \cdot x+C_2 \cdot x^2+C_3 \cdot x^3+...$
y'=$C_1+2 \cdot C_2 \cdot x + 3 \cdot C_3 \cdot x^2 + 4 \cdot C_4 \cdot x^3+... $
y''=$2 \cdot C_2+6 \cdot C_3 \cdot x + 12 \cdot C_4 \cdot x^2 + 20 \cdot C_5 \cdot x^3+... $
Теперь все подставляем в исходное выражение:
$2 \cdot C_2+6 \cdot C_3 \cdot x + 12 \cdot C_4 \cdot x^2 + 20 \cdot C_5 \cdot x^3+...-(C_0 \cdot cos(x)+C_1 \cdot x \cdot cos(x)+C_2 \cdot x^2 \cdot cos(x)+C_3 \cdot x^3 \cdot cos(x)+...) -x =0$
Группируем:
$2 \cdot C_2 - C_0 \cdot cos(x)+ x \cdot (6 \cdot C_3 - C_1 \cdot cos(x)-1)+x^2 \cdot (12 \cdot C_4-C_2 \cdot cos(x))+x^3 \cdot (20 \cdot C_5 - C_3 \cdot cos(x) ) +x^4 \cdot (30 \cdot C_6 - C_4 \cdot cos(x) )=0$

$2 \cdot C_2 - C_0 \cdot cos(x)=0$
$6 \cdot C_3 - C_1 \cdot cos(x)-1=0$
$12 \cdot C_4-C_2 \cdot cos(x)=0$
$20 \cdot C_5 - C_3 \cdot cos(x)=0$
$30 \cdot C_6 - C_4 \cdot cos(x) =0$

из начального условия y(0)=1 и y'(0)=0 следует, что $C_0=1, C_1=0$
Выражаем оставшиеся коэффициенты:
$C_3=1/6$
$C_2=cos(x)/2$
$C_4=cos^2(x)/24$
$C_5=cos(x)/120$
$C_6=cos^3(x)/720$
Отсюда получаем,что частное решение дифура:
$y=1+(x^2 \cdot cos(x))/2+x^3/6+(x^4 \cdot cos^2(x))/24+(x^5 \cdot cos(x))/120+(x^6 \cdot cos^3(x))/720+... $

[ewert]

не то чтобы правильно или неправильно -- Вы его вообще не нашли. Где разложение в ряд косинуса?...

[ИСН]

А косинус у Вас что, сделан из нездешней материи с планеты Криптон?

-- Сб, 2009-11-14, 22:14 --

Вот-вот. Оно самое. Где?

[berendej]

я просто до этого на практике дифуры с применением рядов не решал...Не могли бы вы подсказать на каком этапе решения надо производить разложения cos(x) и как его раскладывать? в ряд Тейлора?