sigma(a)/a=sigma(b)/b все разной четности

[Sonic86]

Не могу найти решение уравнения :
$\frac{\sigma (a)}{a}=\frac{\sigma (b)}{b}$, причем как $a,b$ должны быть разной четности, так и $\sigma (a), \sigma (b)$ должны быть разной четности.
$a,b$ взаимно просты.
$\sigma(n)=\sum\limits_{d|n}d$ - сумма делителей.

З.Ы. Если при этом окажется, что $\frac{a}{b}<4$ или $\frac{b}{a}<4$ я буду почти счастлив.

[EtCetera]

Sonic86
По-моему, условия, которые Вы наложили на $a$ и $b$ чересчур строги. Ведь $\frac{c}{a}=\frac{d}{b}$, только если одновременно $c=k\cdot y$, $a=k\cdot x$, $d=m\cdot y$, $b=m\cdot x$, где $k, m\in\mathbb{N}$. Т.е. $a$ и $b$ не могут быть взаимно простыми числами.
Правда, может быть, я просто не правильно понял, что Вы имели в виду?

[ИСН]

Собственно, да. Шанс остаётся только среди таких (a,b), где обе дроби равны целому числу - т.е. совершенных (perfect) или, не знаю как по-русски, multiperfect a и b. Что для нечётных представляет собой открытый вопрос.

[EtCetera]

ИСН
А существуют ли к-л multiperfect, отличные от 5-multiperfect и 6-multiperfect (и, собственно совершенных) чисел, представленных в OEIS? Или же доказано, что (допустим) не существует 2-multiperfect чисел?

[ИСН]

2-multiperfect - это и есть просто perfect. 3 и 4 тоже встречаются, смотрите на Вольфраме.
Но все они чётные, конечно.

[Sonic86]

EtCetera писал(а):

Sonic86
По-моему, условия, которые Вы наложили на $a$ и $b$ чересчур строги. Ведь $\frac{c}{a}=\frac{d}{b}$, только если одновременно $c=k\cdot y$, $a=k\cdot x$, $d=m\cdot y$, $b=m\cdot x$, где $k, m\in\mathbb{N}$. Т.е. $a$ и $b$ не могут быть взаимно простыми числами.
Правда, может быть, я просто не правильно понял, что Вы имели в виду?

Блин, действительно... Туплю, туплю.... Жаль...
Так, сейчас я пока торможу, у меня дома было несколько решений, когда $a,b$ нечетные, надо их проверить, но вроде рассуждения верные...

[EtCetera]

ИСН
Спасибо, понятно. Посмотрю.

ИСН в сообщении #261250 писал(а):

Но все они чётные, конечно.

И, как и в случае с совершенными, не доказано, что все multiperfect будут четными?

[Sonic86]

ИСН писал(а):

Собственно, да. Шанс остаётся только среди таких (a,b), где обе дроби равны целому числу - т.е. совершенных (perfect) или, не знаю как по-русски, multiperfect a и b. Что для нечётных представляет собой открытый вопрос.

Ну, наверное, на совершенные придется благополучно забить, ибо их не нашли, а искали...
Я, кстати, находил и $n: \sigma(n)=3n$, вроде 600 и 672, сейчас уже не проверю, мозг сдох...

[ИСН]

3 - это 120. 672 это 4. 672 тоже. Их довольно легко лепить руками.

[Sonic86]

Блин, все, задача неактульна . Оказывается еще и $\sigma(a), \sigma(b)$ должны быть взаимно просты.