Задачи из ЕГЭ (треугольник)

[solilin]

Не могу решить C4. В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, O - центр окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Известно, что BC=12, MN=6. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BOC.

[gris]

Могу предложить решение с уловкой. По-видимому, искомый радиус не будет зависеть от формы треугольника $ABC$. Предположим, что он правильный. Ну дальше дело техники.

[ewert]

Только надо ещё доказать, что он может быть правильным. (подсказка: по какой полуокружности скользят точки $M$ и $N$?)

[solilin]

Это будет частный случай. Радиус все-таки зависит от треугольника.

-- Чт ноя 12, 2009 13:47:30 --

ewert в сообщении #261183 писал(а):

Только надо ещё доказать, что он может быть правильным. (подсказка: по какой полуокружности скользят точки $M$ и $N$?)

Отлично, частный случай решил. Спасибо за подсказку, хорошая идея.

[gris]

Он может быть правильным потому, что правильный треугольник со стороной 12 см и средней линией 6 см, которая соединяет основания высот=медиан, полностью удовлетворяет условиям задачи. Если бы результат зависел от треугольника, то от какого именно параметра? Больше ничего не дано, ни отрезков, ни углов, ни площадей. Но тем не менее эта идея всего лишь затравка к дальнейшим рассуждениям, которыми Вы и начали заниматься. Чему я очень рад .