Описать пересечение соболевских пространств

[Asmo89]

Здравствуйте!
В курсе УМФ соболевские пространства вводятся следующим образом:
H^m($\Omega$) = \left\{ $f \in L_2($\Omega$) | $\forall \alpha (|\alpha|\leqslant m), \exists D_\alpha f \in L_2($\Omega$) \right\}
$L_2($\Omega$) \supset $H^1 \supset $H^2 ... \supset $H^m \supset $ ...
где $D_\alpha f$ обобщенная роизводная.

Определение обобщенной производной:
Пусть $f \in L_2($\Omega$), $v \in C_0^{\infty} ($\Omega$), \alpha=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$ - мультииндекс. Объект $D_\alpha f \in L_2($\Omega$) , который удовлетворяет: $\int\limits_{\Omega} D_\alpha f v dx$ = (-1)^{|\alpha|} $\int\limits_{\Omega} f \frac{\partial v}{\partial x_{1}^{\alpha_1} \partial x_{2}^{\alpha_2} ... \partial x_{n}^{\alpha_n}} dx$ называют обобщенной производной

Нужно описать пересечение соболевских пространств $\bigcap\limits_{k=1}^{\infty} H^k($\Omega$) = ?$

[shwedka]

Asmo89
В том же курсе найдите про теоремы вложения. Куда вкладывается пространство соболева большого порядка?

[Asmo89]

shwedka
К сожалению в теоремах о вложении я ненашел ничего про пересечение

[shwedka]

Надо прочитать про теоремы вложения Соболевских пространств в пространства функций с классичекой гладкостью, а потом про пересечения найти у себя в голове

[Asmo89]

А можно ли назвать соболевские пространства гиперплоскостями в $L_2$?

[ewert]

Asmo89 в сообщении #254862 писал(а):

А можно ли назвать соболевские пространства гиперплоскостями в $L_2$?

Смотря что понимать под "гиперплоскостью". Скажем, обозвать их подпространствами -- точно нельзя.

По теме. Теорем вложения много, но Вам достаточно одного: если функция имеет обобщённые производные достаточно высокого порядка с ограниченной интегральной нормой, то она непрерывна и, более того, принадлежит классу $C(\Omega)$. Ну т.е. $H^k$ вкладывается, причём непрерывно, в $C(\Omega)$ при всех достаточно больших $k$.

[Asmo89]

про вложение, это какбы понятно, но непонятно как это связано с пересечением?
Перерыл много книжек и ничего ненашел по своей задаче, кроме теоремы:

но непонятно что такое $D(R^n)$ и может быть оно пересечением или нет?

[CowboyHugges]

Asmo89 в сообщении #254899 писал(а):

но непонятно что такое $D(R^n)$

Как правило $D(R^n)=C_0^\infty(R^n)$, с определенной топологией, то бишь бесконечно дифференцируемые функции с компактным носителем. Ну пересечение видимо будет шире

[ewert]

CowboyHugges в сообщении #254968 писал(а):

Ну пересечение видимо будет шире

Естественно. Это будут все бесконечно дифференцируемые функции с ограниченными производными любого порядка (в случае ограниченной области). А топология на пространстве пробных функций -- тут не при чём.

[Asmo89]

Эм... Вопрос, имеет ли эта теорема:

како-либо отношение к задаче?

[Gafield]

Прямое.

[Asmo89]

GafieldА можно поподробнее?

[Gafield]

Ну, shwedka в первых двух постах уже все сказала. Поскольку $s$ произвольно, то...