Алгоритм правильного замыкания плоской кривой "розы"

[flasher]

Доброе время, уважаемые!
В этом выражении $\rho=r\sin k\alpha$,
где $r, k$ постоянные и $k=\frac {m} {n}$. $\alpha$ - угол. Его посчитаем переменной.
Мне не удается найти закономерность изменения значения $\alpha$, для правильного замыкания розы, при дробном коэффициенте $k$.
Что удалось вывести, почти эмпирически:
1 Если $n==1$ или $k$ - целое, то, при нечетном $k$, $\alpha_m_a_x = 180$, при четном же - $\alpha_m_a_x = 360$.
2 Если $k<1$ и является простой дробью, то $\alpha_m_a_x = 360n$, если любое из чисел $m, n$ - четно, иначе $\alpha_m_a_x = 180n$.
Считаю вывод 2 неполным или вовсе ошибочным, потому как результаты, при десятичных дробях (и $k>1$) часто неверны.
Иллюстрирую свой вопрос наскоро собранным примером, где угол считается именно так.
Ошибкой является: 1 - симметрично незаконченный рисунок, 2 - не закрашенный рисунок и 3 - рисунок в, более чем один, проход (проходы можно посчитать по графику, либо, включив анимацию рисования).

[maxal]

Во-первых, числа $m$ и $n$ нужно предполагать взаимно-простыми. Если они не взимно-простые, то их нужно сократить на их НОД.
Во-вторых, $\alpha_{max}=180n$ должно быть только в случае чётного $m$. Чётность $n$ роли не играет.

[AKM]

flasher, позволю себе предположить, что это именно Вы на другом форуме спрашивали:

Цитата:

как выяснить угол, при котором кривая будет завершена

И некто brukvalub (справедливо) тыкал Вас с в слово "завершена". А потом "нарисована".

Я пока (сильно спать охота) попробую помочь Вам найти правильное слово.
Вас, похоже, интересует период кривой.
Роза при некоторых (рациональных) значениях параметров (того самого параметра) начинает рисоваться на себе самой, уже ранее нарисованной. Полярный угол стремится к бесконечности, а (видимая) кривая не меняется. Как окружность, проходимая сто тысяч раз.

Так что Вас, видимо, интересует минимальное значение $T>0$, такое, что $r(\alpha+T)\equiv r(\alpha)$ и $\alpha+T}\equiv{\alpha}\pmod{2\pi}$ (а, т.е. просто$T=2n\pi$, $n_{min}=?$).
Поспамши, пересмотрю, ответил ли я на Ваш вопрос, или просто поболтал...

[flasher]

maxal Благодарю Вас!
Алгоритм "вычислил" и вроде все теперь работает. Вы практически подтвердили мои, в общем-то почти интуитивные результаты.
Правда эксперименты выявили, таки, приоритет нечетности. Т.е. ключевым моментом стала общая нечетность дроби. Если же отслеживать чет/нечет исключительно делимого ($m$), то кривая, в некоторых случаях, отрисуется наполовину. $\alpha_{max}=180n$ работает именно при полной нечетности. В противном случае приходится удваивать это дело. С сокращением дроби - абсолютная истина! Написал процедуру, все работает отменно.
Поскольку не владею терминологией, хочу спросить: правильно ли я понял аббревиатуру НОД, как Наибольший Общий Делитель?

AKM Ваше предположение - истинно. Ну, а поскольку на том форуме, я, вместо необходимой мне информации, получил кучу орфографического остракизма, то естественным результатом стал вывод, о бессмысленности общения с человеком, который не в состоянии понять задачу, снабженную иллюстрацией... с 3-х попыток - однако.
Здесь, как видите, хватило и одной просьбы. Да и мое невольное косноязычие (уж извините, не специалист я), также не стало преградой в понимании вопроса.
Вам - спасибо душевное за помощь! Только вот, к моему стыду, не особо удалось "переварить" Ваши формулы.

[AKM]

flasher в сообщении #260724 писал(а):

правильно ли я понял аббревиатуру НОД, как Наибольший Общий Делитель?

Да, правильно.

[flasher]

AKM Спасибо за участие. Если возможно, просветите пожалуйста, как понимать "?" в $n_{min}=?$?

[AKM]

Я тогда думал некачественно, на скорую руку (не учёл то, что полярный радиус здесь может быть отрицательным), поэтому пояснять не буду.
По новой.
У Вас дана функция $r(t)=\sin(kt)$, где $k=\frac mn$ --- несократимая дробь, $t$ --- угловой параметр.
Вам надо найти наименьншее Т, являющееся одновременно периодом ф-ций $x(t)=r(t)\cos t$ и $y(t)=r(t)\sin t$ (если бы было $r(t)\ge0$, то можно было бы искать период только этой функции, и сделть его кратным $2\pi$). То есть надо решить систему уравнений-тождеств

$$\begin{cases}x(t)\equiv x(t+T),\\y(t)\equiv y(t+T)\end{cases}$$

относительно Т (есть люди, умеющие думать над этим попроще; я к ним не отношусь).
У меня получилось:
$T=n\pi$, если $m,n$ --- оба нечётные;
$T=2n\pi$, если --- хотя бы одно из них чётное.
Решайте, сверяйте.

[flasher]

AKM
Грандиозно!
Очень Вам признателен, за Ваши доступные пояснения. Все теперь стало прозрачно-ясным.
Сверять бессмысленно, ибо Вы показали мне результат, который я искал дня 4, практически интуитивно и нашел, но не понимал - логики. Сейчас мне светло.
Сердечное спасибо Вам!

[Алексей К.]

Вуаля картинка. Код скопировать в файл Rose.ps и вьючить Постскрипт вьюером.
Параметры можно изменять ручками во второй и третьей строках (защита от сократимости дроби не предусмотрена).
Первый лепесток розы --- зелёный.
Если период перевычислен, то на нем сверху синий должен пройти (m=6,n=2).
Если период недовычислен --- будет криво.
Окаймляющая дуга изображает период.
Красненьким --- проход в два периода.

1. %! 
2. /m 5 def 
3. /n 3 def 
4. %-------------Change m, n above this line! --------------------------- 
5. /k m n div def 
6. /T n n m mul 2 mod 0 eq {360}{180} ifelse mul def 
7. /T1 180 k div def 
8. /dt T1 10 div dup 5 gt {pop 5} if def 
9. /dr 15 dt mul T div def 
10. 150 150 translate 
11. /Helvetica findfont 20 scalefont setfont 100 130 moveto 
12. (m=)show m 9 string cvs show 
13. (,  n=)show n 9 string cvs show (,  T=)show T 12 string cvs show (:) show 
14.  
15. .2 setlinewidth  
16. 105 0 moveto 105 0 dt dup 2 div T add {% 
17.      1 index exch 2 copy cos mul 3 1 roll sin mul lineto dr add} for stroke pop 
18.  
19. 1 setlinewidth  
20. 0 0 moveto 130 0 lineto -3 -3 rlineto 8 3 rlineto -8 3 rlineto 3 -3 rlineto closepath  
21. gsave fill grestore stroke 
22.  
23. 5 setlinewidth 0 1 0 setrgbcolor 
24. 0 0 moveto 0 1 T1 {dup k mul sin 100 mul exch 2 copy cos mul 3 1 roll sin mul lineto} for  
25. stroke 
26.  
27. 1 setlinewidth 0 0 1 setrgbcolor 
28. 0 0 moveto T1 1 T {dup k mul sin 100 mul exch 2 copy cos mul 3 1 roll sin mul lineto} for  
29. stroke 
30.  
31. 300 0 translate 
32. 1 setlinewidth 1 0 0 setrgbcolor 
33. 0 0 moveto 0 1 T 2 mul {dup k mul sin 100 mul exch 2 copy cos mul 3 1 roll sin mul lineto} for  
34. stroke 
35. showpage