публикация статьи на тему Диофантов кубоид

[age]

venco
Нет-нет, все правильно. К этому мы приходим дальше. Хотя, конечно же, можно было написать и сразу. Но, по-моему, постепенно понятнее.

-- Вт ноя 10, 2009 21:17:38 --

KORIOLA
Числа $m$ могут быть равны между собой для любых взятых в отдельности двух уравнений:
$\begin{cases} m^2+(2ab)^2=x^2\\ m^2+(a^2-b^2)^2=y^2\\ \end{cases}$

$\begin{cases} m^2+(2ab)^2=x^2\\ m^2+(a^2+b^2)^2=z^2 \end{cases}$

$\begin{cases} m^2+(a^2-b^2)^2=y^2\\ m^2+(a^2+b^2)^2=z^2 \end{cases}$

[venco]

age в сообщении #260605 писал(а):

venco
Нет-нет, все правильно. К этому мы приходим дальше.

Действительно.
Ну почему бы сразу про это не написать?
Знаете же, что критики читают до первой ошибки.

[KORIOLA]

Уважаемый age!
Из ранее приведенной Вами системы 4 уравнений совместное решение методами алгебры следующих двух уравнений с пятью неизвестными:
$a^2+b^2=e^2$
$a^2+b^2+c^2=x^2$
действительно имеет решение. Это элементарная задача, если использовать мой метод решения. Но найденные при этом числа $a, b, c$ не дают целочисленного решения для двух других уравнений.
Вы утверждаете, что любая пара уравнений из приведенных в последнем Вашем сообщении, может иметь решение в целых числах. Желательно было бы проиллюстрировать это предположение на конкретном числовом примере.
Я пытался решить методами алгебры систему двух Ваших уравнений:
$m^2+(2ab)^2=x^2$
$m^2+(a^2-b^2)^2=y^2$.
Эта система тоже элементарно решается, но из полученного мною алгебраического выражения (а не равенства) следует,что эта система при уже заданных взаимосвязанных значениях двух разных чисел [ $(2ab), (a^2-b^2)$] не имеет целочисленного решения. Полученные мною уравнения для определенитя чисел $m$ по обоим уравнениям, в которых они не зависят от чисел $x,y$, а только от чисел $(2ab)^2$ и $(a^2-b^2)^2,$ не имеют совместного решения. Другими словами, все значения чисел $m,$ определяемые по первому уравнению, не равны ни одному из значений чисел $m,$ определяемых по второму уравнению.
Эта система может иметь решение при условии, что:
$(2ab)^2=n^2(a^2-b^2)^2$
Хотя я, возможно, ошибаюсь.
Мою ошибку мог бы подтвердить конкретный Ваш числовой пример.
KORIOLA

[age]

KORIOLA
Что значит: "при уже заданных взаимосвязанных значениях двух разных чисел"?
Эта система решается неэлементарно, но решается. При этом числа $2ab$ и $a^2-b^2$ не могут быть взаимно простыми.
Если, как вы пишите $(2ab)^2=n^2(a^2-b^2)^2$, приведите пример таких $a,b$.

[KORIOLA]

age!
Вы меня не поняли: я не утверждаю, что уравнение:
$(2ab)^2 =n^2(a^2-b^2)^2$ имеет решение в целых числах.
Я всего лишь высказал предположение о возможности существования такого решения. А вот Вас я просил привести хоть один числовой пример в подтверждение Ваших выводов.
Кстати, я отредактировал и привел в порядок свои расчеты и однозначно установил, что система двух первых уравнений, о которых идет речь, не имеет общего решения в целых числах. На форуме свое доказательство я, скорее всего, размещать не буду, но в личном сообщении скажу Вам, как с ним ознакомиться.
P. S. Когда ознакомитесь с моим доказательством, Вам станет понятно, что значит "заданные взаимосвязанные два разных числа". А то что числа $(2ab)^2$ и $(a^2-b^2)^2$ просто взаимосвязанны, понятно из Ваших же формул: и то и другое зависят от значения чисел $a,b.$
KORIOLA

[age]

KORIOLA

$\begin{cases} 240^2+(2\cdot11\cdot2)^2=244^2\\ 240^2+(11^2-2^2)^2=267^2 \end{cases}$

$\begin{cases} 264^2+(2\cdot32\cdot7)^2=520^2\\ 264^2+(32^2+7^2)^2=1105^2 \end{cases}$

$\begin{cases} 264^2+(28^2-17^2)^2=561^2\\ 264^2+(28^2+17^2)^2=1105^2 \end{cases}$

[KORIOLA]

age
Здесь Вы меня убедили. Буду искать ошибки в своих расчетах.
Ваша система из трех уравнений с 6 неизвестными имеет решение. Но если в этих уравнениях $x, y, z$ - это стороны кубоида, то как с помощью чисел $a, b, m,x, y, z$ найти значения величин 4-х диагоналей, т. е. найти решение исходной системы 4-х уравнений? Я могу ошибаться, но Ваше утверждение, что если система Ваших 3-х уравнений имеет решение, то и исходная система 4-х уравнений, взаимосвязывающих все 7 параметров кубоида, также имеет решение не корректно. Говоря проще, одна система уравнений не преобразуется в другую систему. А еще проще: параметры какого геометрического тела описывает система 3-х уравнений?
KORIOLA

[KORIOLA]

age
По-моему, я поторопился признавать свое доказательство ошибочным.
Вы привели примеры попарного решения своих трех уравнений. Да, такие решения существуют. При этом для двух пар уравнений можно найти решение с одним и тем же значением числа $m.$ Это простая задача. Но в Ваших примерах значение числа $m$ для двух пар уравнений одно, а для третьей пары уже другое, т. е. для трех пар уравнений нет одного и того же значения числа $m$.
Да и числа $a, b$ во всех трех парах уравнений разные, на что я сразу не обратил внимания.
Если взять Ваш первый пример, то:
${240^2+(11^2+2^2)^2}\ne{z^2}$
Приведенные Вами примеры прекрасно иллюстрируют мое доказательство.
Приведите, пожалуйста, пример, в котором при одних и тех же значениях чисел $a, b$ в результате решения всех 3-х уравнений получается одно и тоже значение числа $m$.
KORIOLA

[age]

KORIOLA

age в сообщении #260605 писал(а):

Числа $m$ могут быть равны между собой для любых взятых в отдельности двух уравнений.

Где вы видели чтобы я писал, что такое решение существует для всех трех уравнений?

[KORIOLA]

age
Вы это не писали. Система Ваших трех уравнений должна иметь решение при одних и тех же значениях $a, b, m.$ Это условие решаемости любой системы уравнений. В Вашем случае по заданным числам $a, b, m$ определяются значения чисел $x, y, z.$ В противном случае Вы имеете три комбинации по два уравнения и одно оставшееся уранение, которое не входит в комбинацию и к вошедшим в комбинацию не имеет отношения. Это уравнение, рассматриваемое как параметрическое, имеет решение при заданных числах$a, b,$ но найденное при этом число $m$ не равно числу $m,$ определенному при решении системы двух уравнений. Т.е. получаем числа $m_1, m_2.$ При этом ${m_1}\ne{m_2}.$
Ну, и как при этом доказывать, что система из 4 уравнений, взаимосвязывающая между собой параметры кубоида, имеет решение?
KORIOLA

[age]

Как доказывать? Займитесь лучше чем-нибудь другим, зачем вам этим заниматься?
А если очень интересно - то можете поучаствовать в решении последней системы трех уравнений. Как она связана с начальной системой 4 уравнений значения не имеет. Вот как найдете ее решение - тогда напишу как связана. А пока - просто поверьте, что связана.

[KORIOLA]

Для age
Как говорили древние греки: Зевс, ты злишься- значит ты не прав.
Ваше последнее сообщение - это одни эмоции и раздражение из-за того, что кто-то выразил несогласие с Вашими доводами. Но тогда зачем Вы предлагаете автору темы свой вариант решения проблемы кубоида? Ожидаете услышать аплодисменты?
Автором темы является vasiliu, а не Вы. Вы в этой теме, как и я, гость, поэтому Ваши рекомендации заняться мне чем-нибудь другим смешны.
Мол, эта тема тебе не по уму, она только для "высоколобых". Ваша просьба поверить, что между системой трех и системой четырех уравнений есть связь - это явно не из математической логики. Если такая связь есть, тогда покажите как одна система преобразуется в другую. Вы пытаетесь использовать известный факт, что любое число можно представить в виде разности квадратов двух чисел. Но только простое число имеет разложение на одну пару разности квадратов двух чисел. Если число составное и равно, например $m=abc,$ то оно может быть представлено в виде 10 указанных пар, а если $m=abcd,$ - 14 пар.
В заключение скажу: Ваша система трех уравнений на самом деле не является системой взаимосвязанных уравнений, имеющих общее целочисленное решение. Попарно Ваши уравнения имеют решение в целых числах. В системе из четырех уравнений, взаимосвязывающей параметры кубоида, только два из четырех уравнений имеют совместное решение в целых числах: любое из уравнений, связывающее между собой два ребра и диагональ на грани, и уравнение, связывающее три ребра и пространственную диагональ.
Впрочем, желаю успехов в безнадежном деле!
P.S. высокомерие - порок.
KORIOLA

[Руст]

На самом деле эта задача не такая сложная и решается использованием теории эллиптических кривых. Без условия на главную диагональ эллиптическая кривая с параметром имеет ранг 1 при некоторых значениях параметра и соответственно находится бесконечная серия решений. Дополнительное условие приводит к другой эллиптической кривой. В случае существования совершенного кубоида между двумя эллиптическими кривыми должен существовать бирациональный изоморфизм (в смысле алгебраической геометрии), что приводит к равенству $J$ инвариантов, которые различны, поэтому приводит к противоречию с существованием такого кубоида.