Теория вероятностей. Бернуллиевская величина. Интуиция

[Гена]

Всем добрый! Исследование вот этой задачки пока привело меня к тупику, а вещь нужная для сотен или даже тысяч людей.
Имеется дискретная случайная величина, которая принимает значение 0 или 1. Причем события равновероятны. Допустим, мы угадываем эти величины. При большом числе событий N возможны 3 предельных варианта:
1) не угадано ни одного события, число успеха равно 0.
2) угаданы все события, число успеха равно N.
3) угадываемые значения также случайны, число успеха равно $ \frac{N}{2}$
Пояснение: Так как исходные события равновероятны, согласно теореме Бернулли числа появлений событий 0 и 1 будут стремиться к $ \frac{N}{2}$ при большом числе событий. Соответственно и число успеха будет стремиться к $ \frac{N}{2}$. Это вроде понятно.
Вопрос:
А теперь уберем условие равновероятности. Вероятность неизвестна и лишь примерно равна 0.5. К чему может стремиться число успеха в вышеперечисленных 3х вариантах?

[PAV]

Поясните, каким образом происходит угадывание. Если это также последовательность случайных величин, независимая от исходной, то обозначим через $\xi$ то, что мы хотим угадать, через $\eta$ - наше решение, пусть их распределения имеют вид

$P\{\xi=0\}=p_0$, $P\{\xi=1\}=p_1$, $p_0+p_1=1$,

$P\{\eta=0\}=q_0$, $P\{\eta=1\}=q_1$, $q_0+q_1=1$,

тогда вероятность угадать равна

$P\{\xi=\eta\}=p_0q_0+p_1q_1$.

В частности, если $q_0=q_1=1/2$, то вероятность угадать также равна $1/2$ независимо от значений $p_0$ и $p_1$, т.е. в среднем мы будем угадывать опять-таки половину.

Можете рассчитать, каким должны быть вероятности $q_i$ при известных $p_i$, чтобы вероятность была максимальна. Это легкое упражнение.

Пункты 1 и 2 рассматривать бессмысленно. Поскольку угадывание все равно носит элемент случайности, то есть положительная вероятность угадать и не угадать. При большом числе опытов любое даже маловероятное событие рано или поздно произойдет, а значит, с высокой вероятностью можно утверждать, что будет хотя бы один успех и хотя бы одна неудача.

Более полезным выглядит случай, когда угадывание зависит от данной последовательности. Но чтобы исследовать его математически, нужно тогда задать совместное распределение величин $\xi$ и $\eta$.

[e2e4]

Цитата:

Более полезным выглядит случай, когда угадывание зависит от данной последовательности.

Встречал в инете программку heshby, которая заманчиво подходит под Ваши условия. Попробуйте поискать сайт автора, т.к. та ссылка что у меня есть - устарела. Она очень неплохо справляется с угадыванием последовательностей.

[Гена]

PAV писал(а):

Поясните, каким образом происходит угадывание. Если это также последовательность случайных величин, независимая от исходной, то обозначим через $\xi$ то, что мы хотим угадать, через $\eta$ - наше решение, пусть их распределения имеют вид тогда вероятность угадать равна
$P\{\xi=\eta\}=p_0q_0+p_1q_1$. Это последовательность случайных бинарных величин, RND-генератор. Именно его неидеальность порождает вопрос для исследования 1.
В частности, если $q_0=q_1=1/2$, то вероятность угадать также равна $1/2$ независимо от значений $p_0$ и $p_1$, т.е. в среднем мы будем угадывать опять-таки половину.

Утверждать можно только про вероятность p_i. Она - более-менее достоверна (RND).

PAV писал(а):

Можете рассчитать, каким должны быть вероятности $q_i$ при известных $p_i$, чтобы вероятность была максимальна. Это легкое упражнение.

Это скорее нужно к след.задачке на 3 варианта событий

PAV писал(а):

Более полезным выглядит случай, когда угадывание зависит от данной последовательности. Но чтобы исследовать его математически, нужно тогда задать совместное распределение величин $\xi$ и $\eta$.

Задача - именно выяснить и оценить, насколько угадывание зависит от последовательности. Фактически это - оценить интуицию, т.е. при каком проценте угадываний из n опытов какая интуиция.

Вот то, к чему пришел я:

Событие U (угадывание) появится в результате n опытов (ось х) m раз. Соответственно угадываемость U% - величина m/n - будет отображаться синей точкой (кстати, данные реальные). Но это еще не интуиция
Линии - интегралы вероятности Гаусса. С достоверностью p=0.5 (50%) угадываемость будет лежать в пределах красной линии достоверности. С p=0.99 (99%) угадываемость будет лежать в пределах зеленой линии достоверности. С p=1-10^-5 (в 99999 случаях из 100000) угадываемость будет лежать в пределах синей линии достоверности, именно она и является максимально разумным пределом, за которым - только интуиция.
Получили качественную оценку. Но как теперь количественно оценить эту самую интуицию?