Задачки По Сопрамату на Температурные растяжения

[Sintanial]

Ребят помогите с задачками.
№1)Задача №1
Стальные стержни 1 с поперечным сечением площадью 20 $cm^2$ и медные стрежни с попречным сечением площадью 30 $cm^2$ шарнирно соеденины с точке С (см. рисунок) при температуре $t_1=15^o$. Определить напряжение в стержнях при понижении температуры конструкции ндо $t_2=-45^o$
Ответы: $\sigma_c=104$ кг\$cm^2$ ;$\sigma_m=-57$ кг\$cm^2$



Я решал так:
1)$\Delta{t_1}=\alpha_c\Delta{t}l_1$;
$\Delta{t_2}=\alpha_m\Delta{t}l_2$
Где $\Delta{t}=-60^o$
2) Найдем соотношение реакций из уравнения статики
$2N_1\cos(45^o)+2N_2\cos(30^o)=0 => N_1=-N_2\frac {\cos(30^o)}{\cos(45^o)}=-N_2\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
3)Пусть стержни удлинились на какое то $\Delta{l}$ Найдем соотношения между удлинениями
$(l_1+\Delta{l_1})\cos(45^o)=(l_2+\Delta{l_2})\cos(30^o) =>\Delta{l_1}\cos(45^o)=\Delta{l_2}\cos(30^o) $ - Но я в этом не уверен =). Проверьте тут пожалуйста
4)Запишем Закон Гука $\Delta{l_1}=\Delta{t_1}-\frac {N_1l_1}{E_1F_1};\Delta{l_2}=\Delta{t_2}-\frac {N_2l_2}{E_2F_2};$
5)Из условия совместности деформации следует что : $(\Delta{t_1}-\frac {N_1l_1}{E_1F_1})\cos(45^o)=(\Delta{t_2}-\frac {N_2l_2}{E_2F_2})\cos(30^o)$
После подставления сюда численных значений, с ответом не сходится =(

№2)Задача №2
Инварная трубка с поперечным сечением 30 $cm^2$ и длиной 40 см и медная трубка тех же размеров поставлены впритык друг к другу при температуре $0^o$. Затем они нагреты до температуры $+45.5^o$и сжаты силами, Непозволяющие изменить их общей длине. Какова величина этих сил и чему равна длина этих трубок при повышении температуры ? Для инвара $\alpha=0 ; E=2*10^6$ кг\$cm^2$
Ответ : $P=15.0$ т ; $l_M=40.01 cm ; l_u=39.99 cm$

Я решал так :
1) так как $\alpha=0$ для инвара то $\Delta{t}$ инвара так же равна 0
2)$l_M=l_u$.Из закона Гука : $\Delta{l_u}=-\frac {N_ul_u}{E_uF_u};\Delta{l_M}=\Delta{t_M}-\frac {N_Ml_M}{E_MF_M}; => \Delta{l_u}-\Delta{l_M}=-\Delta{t_M}$
Не могу понять как найти силу - реакцию данных трубок. Так как из за реакций у меня уравнения с тремя неизвестными....помогите плиз

[Sintanial]

ребят ну помогите плиз =)

[Батороев]

Sintanial в сообщении #257571 писал(а):

4)Запишем Закон Гука $\Delta{l_1}=\Delta{t_1}-\frac {N_1l_1}{E_1F_1};\Delta{l_2}=\Delta{t_2}-\frac {N_2l_2}{E_2F_2};$

С первого же взгляда бросается "одинокость" слагаемого $\Delta{t_1}$.
Давно эти дела изучал и мало, что помню, но по логике, при нем должны быть, наверное, типа, длина стержня, коэффициент температурного расширения (или температурного удлинения).
Посмотрите еще раз в учебниках.

[Парджеттер]

Ну раз никто не проявляет активность, значит надо мне вмешаться, видимо.

Sintanial в сообщении #257571 писал(а):

1)$\Delta{t_1}=\alpha_c\Delta{t}l_1$;
$\Delta{t_2}=\alpha_m\Delta{t}l_2$
Где $\Delta{t}=-60^o$

Не обозначайте изменение длины как $\Delta t_i$. Путаница получается.

Sintanial в сообщении #257571 писал(а):

3)Пусть стержни удлинились на какое то $\Delta{l}$ Найдем соотношения между удлинениями
$(l_1+\Delta{l_1})\cos(45^o)=(l_2+\Delta{l_2})\cos(30^o) =>\Delta{l_1}\cos(45^o)=\Delta{l_2}\cos(30^o) $ - Но я в этом не уверен =). Проверьте тут пожалуйста

Да вроде здесь правильно. Вы для проверки можете себе нарисовать небольшое смещение точки C. Она в силу симметрии системы может двигаться только вертикально и переходит в C'. Теперь можно записать CC' через $\Delta l_1$ и $\Delta l_2$.

Sintanial в сообщении #257571 писал(а):

4)Запишем Закон Гука $\Delta{l_1}=\Delta{t_1}-\frac {N_1l_1}{E_1F_1};\Delta{l_2}=\Delta{t_2}-\frac {N_2l_2}{E_2F_2};$

Почему знак минус?

-- 03 ноя 2009, 17:40 --

Sintanial в сообщении #257571 писал(а):

1) так как $\alpha=0$ для инвара то $\Delta{t}$ инвара так же равна 0

Ну это, вообще говоря, не очень важно.

Sintanial в сообщении #257571 писал(а):

2)$l_M=l_u$.Из закона Гука : $\Delta{l_u}=-\frac {N_ul_u}{E_uF_u};\Delta{l_M}=\Delta{t_M}-\frac {N_Ml_M}{E_MF_M}; => \Delta{l_u}-\Delta{l_M}=-\Delta{t_M}$

Поясняйте свои обозначения.
А вообще ересь какая-то.
Насколько я понимаю суть задачи и вот это

Sintanial в сообщении #257571 писал(а):

и сжаты силами, Непозволяющие изменить их общей длине.

условие (правда непонятно зачем стержням изменять их несчастной общей длине), то суть здесь в том, что они нагреваются и их при этом сжимают так, чтобы они не могли изменить длину, т.е. в них появляются напряжения. Тогда уравнение совместности деформаций
$\Delta l_1+ \Delta l_2=0$.
Теперь сюда надо подставить то, что $\Delta l_i=\frac{N_i l_i}{E_i F_i} + \alpha_i \Delta t_i$, $i=1,2$ и решать задачу с учетом того, что система находится в равновесии (это про то, что делать с $N_i$).

-- 03 ноя 2009, 18:00 --

Батороев в сообщении #257962 писал(а):

С первого же взгляда бросается "одинокость" слагаемого $\Delta{t_1}$.

Она бросается только потому, что обозначения дурацкие.

[Sintanial]

Простите за обозначения, надо было сразу раскрывать температурное удлинение

Знак минус я ставлю потому что они сжимаются при отрицательной температуре-- ну я так думаю что сжимаются =)



Вот про последнее я че то сглупил вообще. Я думал что такое уравнения $\Delta l_1+ \Delta l_2=0$ совместности деформации не верно так как если подставить ответы то не получается...ступил =). Там конечная длина их а не удлинения, из за этого и не смог решить задачку =). Спасибо большое. Больше вообще не буду смотреть на ответы пока не доведу до конца =)

-- Вт ноя 03, 2009 23:25:42 --

И всё таки так какая ошибочка в первом ? в знаках ?

[Парджеттер]

Sintanial в сообщении #258078 писал(а):

Знак минус я ставлю потому что они сжимаются при отрицательной температуре-- ну я так думаю что сжимаются =)

А Вы меньше думайте. В сопромате вообще думать нельзя.

-- 04 ноя 2009, 00:08 --

Парджеттер в сообщении #258098 писал(а):

И всё таки так какая ошибочка в первом ? в знаках ?

Ну попробуйте для начала это. Если нет - будем еще думать.

[Sintanial]

Нет =(, писал с плюсом. Реакция получилась такая же как и была только теперь со знаком + а должна быть со знаком минус как было у меня раньше, так как напряжение во втором стержне в ответе отрицательна. Так что наверно проблема в другом...даже не могу представить где =(

-- Пт ноя 06, 2009 02:10:56 --

Напишу подробно =) все решение. Может вы увидите. А то так бывает, что где то пропустил что то и не можешь найти

$(125\cdot 10^{-7}\cdot(-60)\cdot l_1+\frac {N_1l_1}{2\cdot10^6\cdot20})\cdot\cos(45^o)=(165\cdot10^{-7}\cdot(-60)\cdot l_2+\frac {N_2l_2}{1\cdot10^6\cdot30})\cos(30^o)$

$(125\cdot 10^{-6}\cdot(-6)\cdot l_2 \cdot \frac {\cos(30^o)}{\cos(45^o)} -\frac {N_2l_2 \cdot \cos^2(30^o)}{2\cdot 10^6\cdot20 \cdot \cos^2(45^o)})\cdot\cos(45^o)=(165\cdot10^{-6}\cdot(-6)\cdot l_2+\frac {N_2l_2}{1\cdot10^6\cdot30})\cos(30^o)$

$(125\cdot(-6)\cdot l_2 \cdot \frac {\sqrt{3}}{\sqrt{2}} -\frac {N_2l_2 \cdot 3}{2\cdot 20 \cdot 2})\cdot \sqrt{2}=(165\cdot\cdot(-6)\cdot l_2+\frac {N_2l_2}{1\cdot30})\sqrt{3}$
$-750\cdot \sqrt{3}+990\cdot \sqrt{3}=(\frac {\sqrt{3}}{30}+\frac {3\cdot\sqrt{2}}{80})\cdot N_2$

[Антипка]

Sintanial в сообщении #257571 писал(а):

3)Пусть стержни удлинились на какое то $\Delta{l}$ Найдем соотношения между удлинениями
$(l_1+\Delta{l_1})\cos(45^o)=(l_2+\Delta{l_2})\cos(30^o) =>\Delta{l_1}\cos(45^o)=\Delta{l_2}\cos(30^o) $ - Но я в этом не уверен =). Проверьте тут пожалуйста

Не зря сомневались. У вас получается, что удлинение стержня обратно пропорционально косинусу угла отклонения стержня от вертикали. Т.е. при угле, близком к прямому, у вас получится очень большое удлинение стержня, стремящееся в пределе к бесконечности. Это, очевидно, неверно. Причина ошибки - неверный "взаимозачёт" бесконечно малых. Т.е. если вы изначально записали своё соотношение, то вы также обязаны учесть малый поворот стержня, т.к. вторая точка осталась закреплённой. Если всё сделать аккуратно, то там появится еще одно слагаемое первого порядка малости, и в итоге вы придёте к правильному соотношению. Но это достаточно геморройно, поэтому я бы сказал, что условие, использованое вами, в данном случае не очень подходит. Вместо этого сделайте, как вам советовал Парджеттер:

Парджеттер в сообщении #257977 писал(а):

Вы для проверки можете себе нарисовать небольшое смещение точки C. Она в силу симметрии системы может двигаться только вертикально и переходит в C'. Теперь можно записать CC' через $\Delta l_1$ и $\Delta l_2$.

[Sintanial]

Вот нарисовал смещение точки С


Ну что попробуем найти $CC'$
$CC'=DC'-DC$
$DC=l_2\cos(30^o)=l_1\cos(45^o)$
$DC'=(l_2+\Delta{l_2})\cos(a)=(l_1+\Delta{l_1})\cos(b)=>$
$CC'=(l_2+\Delta{l_2})\cos(a)-l_2\cos(30^o)=(l_1+\Delta{l_1})\cos(b)-l_1\cos(45^o)$
Тогда
$(l_1+\Delta{l_1})\cos(b)-l_1\cos(45^o)=(l_2+\Delta{l_2})\cos(a)-l_2\cos(30^o)$

$\cos(a)=\cos(30^o+\delta);\cos(b)=cos(45^o+\delta)$
Ну как я понимаю мы все это исследуем в пределах малых перемещений, то есть получается что $\delta<<1$ то есть этой величиной можно пренебречь ? Если это так то моё соотношение вроде бы верно =)

[Антипка]

Не совсем верно. Во-первых, дельты под знаками косинуса будут разные для первого и второго стержней. Во-вторых, они будут отрицательными и этот факт можно сразу учесть, заменив плюс на минус в косинусах - дальше будет проще вычислять. В-третьих, разумеется, ими пренебрегать нельзя. Ваша ошибка на самом деле в том, что вы ими пренебрегли. Если хотите идти трудным путём, то надо применить формулу для косинуса разности и в полученных выражениях заменить синус и косинус малого угла дельта их разложением в ряд Тейлора, оставив, разумеется, только члены первого порядка малости (косинус - тот вообще станет единицей, а синус угла - самим углом). Дальше будет еще больше геморроя, но в итоге вы придете к правильному соотношению - я это уже проделал сегодня, когда пытался понять, в чем именно вы ошиблись и почему два подхода, - ваш и правильный, - дают разные соотношения.

Что касается простого подхода, предложенного Парджеттером, то вы сейчас описывали не его, а свой старый неправильный подход. В подходе Парджеттера на рисунке вообще нет места точкам A, B, D, E, F, он не предполагает вычисления старой и новой длины стержня и их сравнения. Уберите лишние детали с рисунка. Нарисуйте заново ТОЛЬКО отрезок CC'. После этого из точек C и C' выведите два практически параллельных луча - старое и новое положение стержня 1, которые пересекаются где-то в достаточно удалённой точке. После этого отметьте на полученной картинке отрезок, который составляет приращение длины стержня. Если вы сделаете это правильно, вы все поймете сразу.

[Sintanial]

Извините но я что то не понял немного как вторым способом делать...
Ну первый способ я понял.... я впринцепи так и предполагал что надо разлагать в ряд Тейлора а потом почему то отбросил этот способ опираясь на то что мы такое не проделывали на парах =). Давайте я щас его здесь запишу а вы проверите...

$\cos(30-\delta_1)=\frac {\sqrt{3}}{2}(1-\frac {\delta_1^2} {2!})+\frac {1}{2}(\delta_1-\frac {\delta_1^3}{3!})=\frac {\sqrt{3}}{2}+\frac 1 2 \delta_1$

$\cos(45-\delta_1)=\frac {\sqrt{2}}{2}(1-\frac {\delta_2^2} {2!})+\frac {\sqrt{2}}{2}(\delta_2-\frac {\delta_2^3}{3!})=\frac {\sqrt{2}}{2}+\frac {\sqrt{2}}{2} \delta_2$
эмм а что дальше ? =) как быть с $\delta_1;\delta_2$

[Антипка]

Нет, чувствую, что самостоятельно не справитесь.

Сначала, наверное, надо повторить некую банальную вещь: для получения условия совместности деформаций стержней надо связать приращение длины каждого стержня с перемещением точки соединения стержней (|CC'|). Если потом из двух таких выражений (для двух разных углов стержня с вертикалью) исключить |CC'|, то мы получим условие связи деформаций. Т.е. главное в этой части задачи - получить выражение для указанной связи. Возьмем для примера, скажем, стержень AC.

Еще одно замечание по вашему решению: числовые данные надо подставлять в самую последнюю очередь, по крайней мере - в промежуточных выкладках. Т.е. вместо 30 и 45 градусов надо использовать буквенные обозначения.

Теперь продолжим по решению. Ваш вариант - ну очень, очень, очень мазохистский. Жаль, что вы сразу зациклились на нём. Но, тем не менее, начатое надо доводить до конца, поэтому продолжим. Обозначим угол ACD через $\gamma$, а угол CAC' - через $\delta$, тогда, очевидно, угол AC'D равен $\gamma-\delta$. Положим $\[|AC| = l,|AC'| = l + \Delta l \]$.
Далее:
$\[|CC'|=|C'D|-|CD|\]$
$\[|CD|=l\cos \gamma \]$
$\[|C'D|=(l+\Delta l)\cos(\gamma-\delta)=(l+\Delta l)(\cos\gamma\cos\delta+\sin\gamma\sin\delta )\approx (l+\Delta l)(\cos\gamma+\delta\sin\gamma)\]$
Раскрываем скобки и отбрасываем член второго порядка малости ($\delta\Delta l$), получаем:
$\[|C'D| \approx l\cos \gamma + \Delta l\cos \gamma + l\delta \sin \gamma \]$
Откуда:
$\[|CC'| = |C'D| - |CD| \approx \Delta l\cos \gamma + l\delta \sin \gamma \]$
Теперь рассмотрим треугольник ACC' и получим выражение для высоты, опущенной из вершины C на сторону AC':
$\[h = l\sin \delta = |CC'|\sin (\gamma - \delta )\]$
Раскрывая синус суммы и получившиеся в результате этого скобки, и пренебрегая членами второго и выше порядка малости (не забываем, что |CC'| сам имеет первый порядок малости), получим
$\[l\delta \approx |CC'|\sin \gamma \]$
Подставляя это в полученное выше выражение для CC', получаем следующее соотношение:
$\[|CC'| = |CC'|\sin ^2 \gamma + \Delta l\cos \gamma \]$
или, после упрощения:
$\[|CC'| = \Delta l/\cos \gamma \]$
То есть уравнение совместности деформаций будет таким:
$\[\frac{{\Delta l_1 }}{{\cos \gamma _1 }} = \frac{{\Delta l_2 }}{{\cos \gamma _2 }}\]$

Вторым способом (он же - короткий, думаю, Парджеттер предлагал именно его) делать так:
Смотрим на этот рисунок:

И записываем:
$\[\Delta l \approx |C'X| = |CC'|\cos \gamma \]$
Откуда получаем тот же самый результат практически сразу.
Ну или если хотите более формально, то записываете зависимость длины |CA| от длины |DC| при фиксированной длине |AD| и дифференцируете. Получаете точно такое же соотношение.

[Sintanial]

Спасибо вам огромное. Почти все понял.

Кроме одного. Пожалуйста объясните как вы так нашли высоту опущенную из С к АС' ? почему $h=l\sin{\delta}=|CC'|\sin{(\gamma-\delta)}$

Второй способ и вправду элементарный =)... но я че то не додумался до него =)

[Sintanial]

Вот еще одна задачка в которой я затрудняюсь



Найти напряжение в стержнях при повышении температуры на +30 градусов. Сечения у всех = 10
Длина между каждым шарниром 1 м

Скажите правильно ли я выписал уравнения совместности деформации
Ну начнём
1)Мы можем по теореме Пифагора найти $l_1,l_2,l_3$ далее будем считать что они нам известны
2)$\sin{\alpha}=\frac {2}{l_1};\sin{\beta}=\frac {2}{l_2};\sin{\gamma}=\frac {2}{l_3}$
3)Теперь приступим к условию совместности деформации
Так как у нас малые перемещения то углом на которые опустились стержни мы пренебрежем тогда получится что удлинение стержня будет $\Delta{l}$ такими как показаны на рисунке =)
Углы $\alpha$ и $\varphi$ в сумме дают $90^o$ а так как угол $\varphi$ и вертикальный ему равны. То полученные треугольники прямоугольные. Тогда
$\sin{\alpha}=\frac {\Delta {'l_1}}{\Delta{l_1}};\sin{\beta}=\frac {\Delta {'l_2}}{\Delta{l_2}};\sin{\gamma}=\frac {\Delta {'l_3}}{\Delta{l_3}}$
Тогда $\Delta {'l_1}=\Delta{l_1}\sin{\alpha};\Delta {'l_2}=\Delta{l_2}\sin{\beta};\Delta {'l_3}=\Delta{l_3}\sin{\gamma}$
По подобию треугольников $\frac {1}{\Delta{'l_3}}=\frac 2 {\Delta{'l_2}}=\frac 3 {\Delta{'l_1}}$
$=>$
$\Delta {'l_3}=\frac 1 2 \Delta {'l_2}$ и $\Delta {'l_1}=\frac {3}{2} \Delta {'l_2}$
Дальше просто подставляем выраженные $\Delta{l'}$ через $\Delta{l}$.... лень писать... дальше вроде понятно

Я как понял потом Нам прийдется искать момент относительно шарнира в начале балки. Получится уравнения с трема неизвестными. Дальше составляем систему из двух уравнений совместности деформации и подставляем туда какую нибудь выраженную рекцию. И решаем систему состоящую из двух уравнений с двумя неизвестным ?......делал все так но с ответом не сошлось =(

[Антипка]

Sintanial в сообщении #259453 писал(а):

Пожалуйста объясните как вы так нашли высоту опущенную из С к АС' ? почему $h=l\sin{\delta}=|CC'|\sin{(\gamma-\delta)}$

Геометрия 9 класс, теорема синусов. Здесь можно было бы обойтись без высоты h, просто я забыл, что теорема синусов в готовом виде содержит нужное соотношение.