метрические пространства

[AGu]

ewert в сообщении #259988 писал(а):

AGu в сообщении #259977 писал(а):

Этот ляп уже был замечен, признан и обойден.

А нельзя указать явно, в каком месте?

Положим $a_n:=f^n(x)$, $b_n:=f^n(y)$, а дальше — вот:

AGu в сообщении #259693 писал(а):

Пусть $(a_{n_m})_{m\in\mathbb N}$ — сходящаяся подпоследовательность последовательности $(a_n)_{n\in\mathbb N}$. Пусть $(b_{n_{m_k}})_{k\in\mathbb N}$ — сходящаяся подпоследовательность последовательности $(b_{n_m})_{m\in\mathbb N}$. Тогда $(a_{n_{m_k}})_{k\in\mathbb N}$ и $(b_{n_{m_k}})_{k\in\mathbb N}$ — сходящиеся подпоследовательности последовательностей $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ и $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ соответственно.

[ewert]

AGu в сообщении #259991 писал(а):

Положим $a_n:=f^n(x)$, $b_n:=f^n(y)$, а дальше — вот:

AGu в сообщении #259693 писал(а):

Пусть $(a_{n_m})_{m\in\mathbb N}$ — сходящаяся подпоследовательность последовательности $(a_n)_{n\in\mathbb N}$. Пусть $(b_{n_{m_k}})_{k\in\mathbb N}$ — сходящаяся подпоследовательность последовательности $(b_{n_m})_{m\in\mathbb N}$. Тогда $(a_{n_{m_k}})_{k\in\mathbb N}$ и $(b_{n_{m_k}})_{k\in\mathbb N}$ — сходящиеся подпоследовательности последовательностей $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ и $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ соответственно.

Как-то слишком долго, надо было просто сказать: "выберем подпоследовательность, по которой сходится первая компонента, а из неё -- подпоследовательность, по которой сходится вторая".

Но это был первый уровень, а вот второй. Нам ведь нужна не абы какая сходимость, а сходимость именно к исходному иксу. А она -- совсем по другой подпоследовательности, чем только что указанная.

Ладно, чтобы не тянуть кота за разные части тела -- как надо было. Рассмотреть $X^2$ с метрикой, например, $\rho((x_1,y_1),(x_2,y_2))\equiv\max\{\rho(x_1,y_1);\rho(x_2,y_2)\}$; это -- тоже компакт. И на нём функцию $F(x,y)\equiv(f(x),f(y))$; она -- тоже "несжимающая". Вот для неё предыдущие рассуждения действительно проходят без излишних оговорок и дают нужный результат.

[AGu]

ewert в сообщении #259995 писал(а):

Как-то слишком долго

Простите, что утомил.

ewert в сообщении #259995 писал(а):

Но это был первый уровень, а вот второй. Нам ведь нужна не абы какая сходимость, а сходимость именно к исходному иксу. А она -- совсем по другой подпоследовательности, чем только что указанная.

Ребят, я уже устал, чесслово. Не могли бы Вы чиста конкретно указать на ошибку в исходном доказательстве (кроме уже отмеченного ляпа)?

ewert в сообщении #259995 писал(а):

Ладно, чтобы не тянуть кота за разные части тела -- как надо было. Рассмотреть $X^2$ с метрикой, например, $\rho((x_1,y_1),(x_2,y_2))\equiv\max\{\rho(x_1,y_1);\rho(x_2,y_2)\}$; это -- тоже компакт. И на нём функцию $F(x,y)\equiv(f(x),f(y))$; она -- тоже "несжимающая". Вот для неё предыдущие рассуждения действительно проходят без излишних оговорок и дают нужный результат.

Доказывать можно кучей разных способов. Через теорему Тихонова — тоже способ. Славно, что Вы его обнаружили. Но чем я-то виноват?

[ewert]

Страсти-то какие. Какая ещё теорема Тихонова?... Это просто банальность.

Ладно, больше не буду.

[AGu]

ewert в сообщении #260000 писал(а):

Страсти-то какие.

Да не, все нормально. Просто я не ожидал, что такие, казалось бы, простые рассуждения придется детально раскрывать и «защищать». Нельзя же просто игнорировать замечания и вопросы, а на ответы определенные усилия требуются.

ewert в сообщении #260000 писал(а):

Какая ещё теорема Тихонова?... Это просто банальность.

Декартово произведение компактов — компакт. (В случае квадратика — согласен, банальность.)

ewert в сообщении #260000 писал(а):

Ладно, больше не буду.

Спасибо.

[amiable]

AGu в сообщении #259977 писал(а):

amiable в сообщении #259766 писал(а):

Я вообще не понимаю, как при использовании корректных (двухэтажные индексы или функциональная нотация - всё равно) обозначений должна выглядеть оценка, используемая в итоговом неравенстве:

Цитата:

$\rho\bigl(f^n(x),f(x)\bigr)\le\rho\bigl(f^{n+m}(x),f^m(x)\bigr)$

Если я на этот раз правильно понял, затруднение вызвал следующий фрагмент:

AGu в сообщении #153966 писал(а):

получим сходящиеся последовательности $\bigl(f^{n_k}(x)\bigr)$ и $\bigl(f^{n_k}(y)\bigr)$.
Сходящиеся последовательности фундаментальны,
а значит, найдутся $n,m\in\mathbb N$ такие, что
$\rho\bigl(f^{n+m}(x),f^m(x)\bigr)<\frac\varepsilon2$

Попробую пояснить.

Для уменьшения громоздкости записей введем обозначение $a_n:=f^n(x)$.
У нас есть сходящаяся последовательность $(a_{n_k})_{k\in\mathbb N}$. (Тут, вроде, нет возражений.)
Поскольку эта сходящаяся последовательность фундаментальна,
найдется такое $k\in\mathbb N$, что $\rho(a_{n_i},a_{n_j})<\frac\varepsilon2$ при $i,j\geqslant k$.
В частности, для такого $k$ мы имеем $\rho(a_{n_{k+1}},a_{n_k})<\frac\varepsilon2$.
Положим $m:=n_k$ и $n:=n_{k+1}-n_k$.
В итоге получаем $\rho\bigl(f^{n+m}(x),f^m(x)\bigr)=\rho(a_{n+m},a_m)=\rho(a_{n_{k+1}},a_{n_k})<\frac\varepsilon2$,
что, собственно, и требовалось.

Только теперь, с учётом таких замен, я согласен. Но, согласитесь и вы, между этим решением и начальным - значительная разница. Итоговое неравенство может быть верно только для особых значений m и n, но никак не в общем случае. Откуда я мог знать, что вы подразумевали такие замены? Я читал только то, что написано. То, что вы написали сначала - эклектичное объединение двух различных кусков, второй отнюдь не следует из первого, более того, он неверен при условиях решения. Вы опустили очень важные детали. Бла-бла-бла, здесь всё очевидно, а кому не ясно, идите повторите букварь.

Кроме того, решение Доценко правильное. Кто так и не понял того, что предлагается в этой теме, отсылаю к другой: topic26568.html, где ссылка на решение Доценко и в конце - моё пояснение о незначительной ошибке в нём.

-- Пн ноя 09, 2009 14:28:55 --

RIP в сообщении #259771 писал(а):

Ну неужели так трудно догадаться, что $n+m=n_{k+r}$ и $m=n_k$?

Итоговое неравенство можно записать не для всяких n и m, а только для $n+m=n_{k+r}$ и $m=n_k$. То что записано - неверно, так как разность индексов двух членов подпоследовательности не обязательно является индексом члена этой же подпоследовательности. Вместо правильного утверждения записано более общее и неверное - это тоже ошибка, и, не будучи автором решения, так сразу и не догадаешься, что на самом имелось ввиду. Что я думаю по поводу таких решений, написано чуть выше (пожалуй, сделаю эту фразу своей подписью). На этом считаю тему исчерпанной.

[AGu]

amiable в сообщении #260067 писал(а):

Вы опустили очень важные детали. Бла-бла-бла, здесь всё очевидно, а кому не ясно, идите повторите букварь.

Это — совершенно беспочвенное и очень неприятное для меня обвинение, так как я всегда стараюсь уважать потенциального читателя (и тем более — актуального). И отчасти из этого априорного уважения я не всегда «разжевываю» детали и зачастую предлагаю не подробное решение, а в некотором роде идею (разумеется, проверяя ее «для себя»). И я всегда с готовностью откликаюсь на замечания и вопросы (а «повторить букварь» предлагаю только в клинических случаях).

amiable в сообщении #260067 писал(а):

То что записано - неверно, так как разность индексов двух членов подпоследовательности не обязательно является индексом члена этой же подпоследовательности. Вместо правильного утверждения записано более общее и неверное

А вот это уже по делу, это — обвинение в математической ошибке. Укажите, пожалуйста, поточнее на неверное утверждение, которое Вы имеете в виду. Может быть, это?

AGu в сообщении #153966 писал(а):

Сходящиеся последовательности фундаментальны,
а значит, найдутся $n,m\in\mathbb N$ такие, что
$\rho\bigl(f^{n+m}(x),f^m(x)\bigr)<\frac\varepsilon2$, $\rho\bigl(f^{n+m}(y),f^m(y)\bigr)<\frac\varepsilon2$.

Тут сказано «найдутся» $n$ и $m$. И они действительно найдутся (и в ответ на Ваш вопрос я это пояснил). Если я тут и ошибся, то только в том, что, вероятно, переоценил возможность потенциального читателя в восстановлении опущенных деталей.

amiable в сообщении #260067 писал(а):

Что я думаю по поводу таких решений, написано чуть выше (пожалуй, сделаю эту фразу своей подписью). На этом считаю тему исчерпанной.

Ох... Мне было трудно воздержаться от напрашивавшихся эмоциональных комментариев, но так уж и быть, проехали.

[ewert]

Вот видите, леди и мистера, какие страсти, а всего-то и лишь -- из-за неаккуратно формализованной записи решения. Тщательно маскирующего свой собственный смысл за изысканными значками.

[AGu]

ewert в сообщении #260309 писал(а):

Вот видите, леди и мистера, какие страсти, а всего-то и лишь -- из-за неаккуратно формализованной записи решения.

Я признаю, что фраза «Выбирая подпоследовательности этих подпоследовательностей» — паршивая. Это мы уже обсудили. Но черт меня побери, что там еще неаккуратного-то? Мне же интересно! И Вы, и amiable твердите об ошибках и некорректностях, но упорно скрываете от меня конкретику. Ткните в точное место, плиз! Вам что, мышку жалко?

[RIP]

AGu
Не беспокойтесь. Ваше доказательство абсолютно корректное, аккуратное, простое и понятное.