Добрый день.
Задача вроде бы учебная, так что спрашиваю здесь.
Нужно найти число независимых компонент у симметричного тензора ранга

.
Поясню, что здесь имеется в виду.
Предполагается, что тензор задан в

линейном пространстве и рассматриваются его компоненты

, где каждый индекс пробегает значения

. Далее считаем, что базис фиксирован. Под симметричным тензором имеем в виду тензор, симметричный по любой паре индексов, например, для первых двух индексов:

.
Что такое "независимые компоненты" можно пояcнить на примере: у симметричного тензора второго ранга

число
независимых компонент равно

. Аналогично, у антисимметричного тензора

число независимых компонент равно

.
Конечно вместо тензоров можно рассматривать кортежи, это не принципиально.
Веду подсчёт так: понятно, что число независимых компонент равно числу компонент с упорядоченным по возрастанию индексами + число компонент с повторяющимися инндексами:

Число компонент для антисимметричного тензора как раз равно числу компонент с упорядоченным по возрастанию индексами:

Пошёл тем же путём для симметричного тензора, однако застрял на подсчёте числа компонент с повторяющимися индексами (для этого рассматриваю также упорядоченные наборы чисел).
Вопрос: есть ли конечная формула, выражающая число компонент симметричного тензора ранга

, при условии, что

.
Вопрос2: наверное я выбрал не самый удачный способ подсчёта компонент, есть ли более простой и понятный?
P.S. Если есть комментарии по поводу терминов, не буду против, но желательно с ссылками

.