Исследовать функцию

[Jilya]

Исследовать функцию y=f(x):
$y=\frac {x^2} {x-1}$
1) Функция неопределенна при x=1, то область оределения D(y)=(-\infty;1)U(1;+\infty)
2)Функция четная
3)Вычисляем одностороние пределы:$\lim\limits_{x\to\\1+0}{\frac {x^2} {x-1}}=+\infty
Следовательно, прямая x=1 будет вертикальной асимптотой графика функции
$\lim\limits_{x\to\\1-0}{\frac {x^2} {x-1}}=-\infty
4)Находим наклонную асимптоту графика функции:
k=$\lim\limits_{x\to\infty}{\frac {x^2} {x-1}}=0
b=$\lim\limits_{x\to\infty}{\frac {x^2} {x-1}}=1
5)Интервалы монотонности и точки экстремума по знаку производной:
y^/=(\frac {x^2} {x-1})^/=\frac {x^2-2x} {(x-1)^2}
6)Интервалы выпуклотости и вогнутости:
y^/^/=(\frac {x^2-2x} {(x-1)^2})^/=\frac {2} {(x-1)^3}
Проверьте, пожалуйста ,и подскажите что дальше и какие мои ошибки!!!

[ShMaxG]

Jilya в сообщении #259165 писал(а):

2)Функция четная

Нефига.

Jilya в сообщении #259165 писал(а):

4)Находим наклонную асимптоту графика функции:
k=$\lim\limits_{x\to\infty}{\frac {x^2} {x-1}}=0
b=$\lim\limits_{x\to\infty}{\frac {x^2} {x-1}}=1

Тут тоже все не правильно. Посмотрите внимательней формулы вычисления $k$ и $b$.

-- Пт ноя 06, 2009 20:05:47 --

И насчет пунктов 5 и 6... Где интервалы-то?

[Mitrius_Math]

$f(-x)=\frac {(-x)^2} {-x-1}=\frac {-x^2} {x+1} \not=f(x) \not= -f(x)$. Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

[gris]

Добавлю. Ещё нужен предел слева в единичке, пределы на плюс и минус бесконечности, интервалы непрерывности, нули, интервалы знакопостоянства. Наклонные асимптоты могут и отличаться справа и слева.

[Алексей К.]

Советую производную писать так: y' (апостроф, даже без всяких y^').
Нашедши производную, надо найти-указать те самые точки экстремума и интервалы монотонности.
Есть ещё команда \cup : $A\cup B$

-- 06 ноя 2009, 21:34 --

Jilya в сообщении #259165 писал(а):

6)Интервалы выпуклотости и вогнутости:
...
и подскажите какие мои ошибки!!!

Наверное, если выпуклотость, то и вогнутотость.

[ewert]

Общая схема.

Ищем, да, область определения функции, и находим.

Проверяем, да, чётность/нечётность, и не находим, и -- фтопку.

Ищем критические точки (где нечто равно нулю или не определено) для самой функции, её первой и второй производной.

Фиксируем промежутки возрастания/убывания, а также выпуклости/вогнутости.

Пытаемся найти асимптотики на бесконечностях, и -- не находим, ну и бог с ними (а, нет, находим, там же икс квадрат на икс; ну ладно -- значит, фиксируем).

Рисуем эскизики графиков на всех выявленных участках. Ну и объединяем их.

[Jilya]

Mitrius_Math в сообщении #259175 писал(а):

$f(-x)=\frac {(-x)^2} {-x-1}=\frac {-x^2} {x+1} \not=f(x) \not= -f(x)$. Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Я согласна с вами, но не ${(-x)^2}$, а$f(-x)=\frac {(-x)^2} {-x-1}=\frac {x^2} {x+1} \not=f(x) \not= -f(x)$

[ShMaxG]

Jilya
Нет, он-то как раз правильно написал. В числителе минус убивается квадратом. А из знаменателя выносится.

[Jilya]

Помогите мне разобраться с наклонной асимптотой

[ShMaxG]

Для того, чтобы функция $f$ имела наклонную асимптоту при $x \to + \infty $ необходимо и достаточно, чтобы для параметров асимптоты $k$ и $b$ было выполнено:$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}} {x} = k$ и $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - kx} \right) = b$.

Подставляйте и находите $k$ и $b$. Затем проделайте то же самое для $x \to - \infty $

[AKM]

ShMaxG в сообщении #259214 писал(а):

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}} {x} = k$

Подкрашу:

$$\lim \limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}} {\color{red}x}=k$$

[Jilya]

4)Находим наклонную асимптоту графика функции:
$k=\lim\limits_{x\to+\infty}{\frac {x^2} {x-1}}={\frac {+\infty^2} {x(1-{\frac {1} {x})}}}={+\infty}$
$b=\lim\limits_{x\to+\infty}{\frac {x^2} {x-1}}{+\infty}=$

[ShMaxG]

Jilya
Нет. Вам же даже выделили красным икс в знаменателе. Предел следует искать от $\frac{{f\left( x \right)}} {x}$, а вы ищете от $f(x)$. Да и сам предел неверно вычисляете.

[Jilya]

Не понимаю!!!
$k=\lim\limits_{x\to+\infty}{\frac {x^2} {x-1}}={\frac {1} {+\infty}=0$
$b=\lim\limits_{x\to+\infty}{\frac {x^2} {x-1}}{+\infty}=$

[ShMaxG]

Следите за руками.

$k = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}} {x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2}}} {{x - 1}} \cdot \frac{1} {x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{x} {{x - 1}}} \right) = ?$

Чему же равен предел?

-- Пт ноя 06, 2009 22:07:00 --

Вы зачем-то подставляете в числителе бесконечность на место икса. И делите бесконечность на что-то получая бесконечность... Так не пойдет. Учитесь вычислять пределы, почитайте теорию (лекции, книжки ваши и т.п.).