Поиск предела с помощью разложения в ряд Тейлора

[thescientist]

Приветствую!

Мне нужно решить вроде бы не сложную задачку: найти вот такой предел с помощью разложения вряд Тейлора.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ( \sqrt {{1 - \ln (1 - x)}} - \sin{{( \frac x 2 + \frac {{x^2}} {{8}} )}} )^ \frac {{(1+x)}} {{x^3}}$

Я пока не успел порешать основательно на черновиках, но видно, что раскладывается очень хороло логарифм и синус, но как быть с показателем степени?

Как бы вы стали решать такое?

Заранее большое спасибо за помощь

[ewert]

А чему равен ноль в бесконечной степени?

[ИСН]

Либо сводите к е-образным пределам, либо (что, в сущности, то же самое) ищите логарифм subj.

[ewert]

ИСН в сообщении #258580 писал(а):

Либо сводите к е-образным пределам,

В том безобразном пределе нет решительно ничего е-образного.

[ИСН]

В каком в том? Вы думаете, я читал условие?

-- Чт, 2009-11-05, 16:16 --

Вот чёрт, а. Действительно, никаким боком. "Засада".

[gris]

Может быть там косинус?

[ewert]

gris в сообщении #258602 писал(а):

Может быть там косинус?

Тогда это ближе к телу, но в ответе всё равно никакого "е" не будет.

[ИСН]

Отставить! ewert меня сбил. Там есть единица в скобках (...корень из единицы минус ля-ля-ля). Всё-таки в нём есть что-то е-образное, а дальше уж надо смотреть.

[gris]

А нельзя в лоб посчитать показатель степени?
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ( \sqrt {{1 - \ln (1 - x)}} - \sin{{( \frac x 2 + \frac {{x^2}} {{8}} )}}-1 )\cdot \dfrac {{(1+x)}} {{x^3}}$

[ewert]

Тыпс. И верно -- скобки. Ладно, уговорили, будет $e^{...}$ (считать -- некоторое занудство, придётся корень с логарифмом до третьих степеней раскладывать).

[thescientist]

Спасибо всем большое за помощь и быстрые ответы.

gris в сообщении #258610 писал(а):

А нельзя в лоб посчитать показатель степени?
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ( \sqrt {{1 - \ln (1 - x)}} - \sin{{( \frac x 2 + \frac {{x^2}} {{8}} )}}-1 )\cdot \dfrac {{(1+x)}} {{x^3}}$

Извините, я не сообразил, как вы умудрились перейти к такой записи?

Про $e$-разложение — скажите, где мне об этом прочитать? ( да, действительно очень давно не занимался математикой )

-- Чт ноя 05, 2009 19:33:12 --

ИСН в сообщении #258605 писал(а):

Отставить! ewert меня сбил. Там есть единица в скобках (...корень из единицы минус ля-ля-ля). Всё-таки в нём есть что-то е-образное, а дальше уж надо смотреть.

Я же говорю, этот корень и синус вобщем-то расладываются в ряды Тейлора вполне по-человечески. Вечером сделаю разложения, если не додумаюсь — приду за советом.

Спасибо еще раз!

[AKM]

thescientist в сообщении #258663 писал(а):

Про $e$-разложение — скажите, где мне об этом прочитать?

Про $e$-разложение ничего не говорилось. Упоминался $e$-образный предел. Под этим, видимо, понимаются пределы, похожие на второй замечательный предел или приводимые к нему. Ну, а что это за предел --- Вы, вероятно, знаете, либо прочтёте в любом справочнике.

[bot]

thescientist в сообщении #258663 писал(а):

gris в сообщении #258610 писал(а):
А нельзя в лоб посчитать показатель степени?

Извините, я не сообразил, как вы умудрились перейти к такой записи?

После логарифмирования выражение приготовилось к экзекуции формулой Тейлора, но тут подкрался gris и убил логарифм эквивалентностью $\ln f = \ln (1+f-1) \sim f-1$ при бесконечно малой $f-1$.
Так что разлагать осталось только корень и синус - хотя и мелочь, а приятно.

[gris]

Если честно, то я предполагал использование равенства (при определённых условиях)

$\lim A^B=e^\lim(A-1)B$

при $A\to 1; B\to\infty$

что то же самое, что

$\lim (1+C)^B=e^\lim CB$

при $C\to 0; B\to\infty$

[bot]

gris в сообщении #258695 писал(а):

Если честно, то я предполагал использование равенства (при определённых условиях)

$\lim A^B=e^\lim(A-1)B$

при $A\to 1; B\to\infty$

Не подумал, что это где-нибудь записано. Откуда берётся - ясно:

$\lim A^B=e^{\lim B\ln A} = e^{\lim B\ln (1+A-1)}$ и применяем эквивалентность $\ln (1+x)\sim x$ при $x\to 0$