Вариационное исчисление, уравнение Эйлера - Остроградского

[Stude]

Нужно написать уравнение Эйлера - Остроградского для $\iint_{\mathbb D} (z_xx)^2 +(z_yy)^2 + 2 \cdot (z_xy)^2 - 2z \cdot f(x,y) \,dx \,dy$. У меня есть вид уравнения Эйлера - Остроградского: $F_z - \frac{\partial {F_{z}}_x}{\partial x} - \frac{\partial {F_{z}}_y}{\partial y}$ = 0, Прошу проверить правильно ли я написал уравнение: $- 2 \cdot f(x,y)=0$ или $f(x,y)=0$. Так как частные производные от всех остальных функций равны нулю и остается только по самой $z$.

[mihiv]

Подынтегральная функция зависит от следующих переменных: $F(z_x,z_y,z,x,y)$, теперь напишите чему равно $F_{z_x}$, а потом $\frac{\partial F_{z_x}}{\partial x}.$

[Stude]

извините опечаточка вышла, правильно так:

Stude в сообщении #257604 писал(а):

Нужно написать уравнение Эйлера - Остроградского для $\iint_{\mathbb D} (z_{xx})^2 +(z_{yy})^2 + 2 \cdot (z_{xy})^2 - 2z \cdot f(x,y) \,dx \,dy$. У меня есть вид уравнения Эйлера - Остроградского: $F_z - \frac{\partial {F_{z}}_x}{\partial x} - \frac{\partial {F_{z}}_y}{\partial y}$ = 0, Прошу проверить правильно ли я написал уравнение: $- 2 \cdot f(x,y)=0$ или $f(x,y)=0$. Так как частные производные от всех остальных функций равны нулю и остается только по самой $z$.

[ИСН]

Если под интегралом живут высшие производные, то само уравнение приобретает более сложный вид.

[Stude]

а не подскажите какой? А то, я уж перерыл много литературы, так ничего толком и не нашёл

[ИСН]

$F_z - {\partial F_{z_x}\over \partial x} + {\partial^2 F_{z_{xx}}\over\partial x^2} = 0$
(это для одной переменной).

[Stude]

но у меня для двух, означает ли это что для двух будет: $F_z - {\partial F_{z_x}\over \partial x} - {\partial F_{z_y}\over \partial y} +2 \cdot {\partial^2 F_{z_{xy}}\over \partial {xy}} + {\partial^2 F_{z_{xx}}\over\partial x^2} +{\partial^2 F_{z_{yy}}\over\partial y^2} = 0$ ?

[ИСН]

Как-то так, да.

[Stude]

$F_{z_{xy}} =4z_{xy}$
$F_{z_{xx}}=2z_{xx}$
$F_{z_{yy}}=2z_{yy}$
$F_z=-2f(x,y)$
Итого: $2f(x,y)+8z_{xyxy}+2z_{xxxx}+2z_{yyyy}=0$
Так? Что-то смущает меня ответ, уж очень странный