Вариационное исчисленние, экстремум функионала

[Stude]

Требуется найти экстремум для функционала $Y(y(x))= \int_{0}^{2}xy'+y'^2 dx$, с условиями $y(0)=1$ и $ y(2)=0$. Пишу Уравнение Эйлера, в данном случае оно будет таким: $\frac{d {F_{y'}}}{d x}=0$.
$\frac{d}{d x}(x+2y')=0$
$1+2y''=0$
$y=-0.25\cdot C_1 x^2 + C_2$
Из начальных условий: $C_2=1$ $ C_1=1$
$y=-0.25 \cdot x^2 +1 $
Строю центральное поле: $y=-0.25 \cdot Cx^2 +1$
Строю функцию Вейерштрасса: $F(x,y,y')=xy'+y'^2-xp-p^2+(y'-p)(x+2p)=(y'-p)(2x-y'+3p)$
Теперь нужно понять какой именно здесь иэ экстремумов слабый или сильный, минимум или максимум и вот тут, я не могу ничего придумать, так как нужно показать то ли эта функиця больше нуля (меньше) для всех $p$, или только для точек окрестности. Помогите

[Парджеттер]

Надо формально проверить условие Якоби. А нельзя здесь, чтобы не исследовать функцию Вейерштрасса, воспользоваться условием Лежандра?

[Stude]

можно и условием Лежандра, но у меня задание именно на Вейерштрасса.
Боюсь просто составить Якоби и получить нормальный ответ не получится. Ведь Помиио того будет это минимум или максимум, мне нужно узнать сильный или слабый, а Якоби тут не помощник.