Как сохранить ортогональность векторов?

[ewert]

serval в сообщении #257403 писал(а):

По известным $x,y,C,A$ и условию равенства нулю конечного выражения требуется найти матрицу $B$.

Ну, $B\vec y$ при заданном $\vec y$ должно быть ортогонально известному $C^*A^*\vec x$. Таких матриц $B$ бесконечно много. Странно и пока неинтересно.

[serval]

Извините, забыл ещё одно условие: все элементы всех матриц - натуральные числа.

[ewert]

serval в сообщении #257425 писал(а):

Извините, забыл ещё одно условие: все элементы всех матриц - натуральные числа.

Ну, тогда я отрубаюсь.

[Shtirlic]

serval
Я несколько не понял, откуда взялось уже 3 матрицы??? И объясните, что вам нужно, решить конкретную задачу или решение в общем случае; нужно найти одно любое решение или формулу для всех решений??? Что предлагалось раньше это возможность найти частное решение. Обратная матрица применима когда размерности A и B одинаковые.

-- Пн ноя 02, 2009 12:34:31 --

Точнее когда они квадратные

[serval]

Цитата:

Я несколько не понял, откуда взялось уже 3 матрицы???

Матрица $C$ задана в выражении $xCy=0$. Матица $A$ действующая на $x$-строку так, что $xA=x'$ тоже известна. Матрицу $B$ такую, что $By=y'$ и при этом $x'Cy'=0$ нужно найти.
Размерности: $x$ - $1\times m$, $y$ - $m\times 1$, $C,A,B$ - $m\times m$.
Насчет натуральности всех элементов всех матриц - был не прав, начал суетиться, пока лучше на это не отвлекаться.

Цитата:

что вам нужно, решить конкретную задачу или решение в общем случае; нужно найти одно любое решение или формулу для всех решений???

Лучше общее решение, но при невозможности - хотя бы частное.
Мне нужно решить несколько задач с конкретными начальными числовыми значениями которые получаются согласно определенным правилам. Это делается для поиска закономерностей в строении $y'$-столбца.

[Shtirlic]

serval
Не пойму откуда C, нам говорилось о ортогональности векторов x и y, а это $x^Ty=0$,может вы что-то не сказали??? А насчет решения, приведите мне два ортоганальных вектора с натуральными координатами. В каком случае сумма произведений натуральных чисел может равняться нулю???

-- Пн ноя 02, 2009 23:09:19 --

А так понял, вектора произвольные, только матрицы из натуральных чисел. Вообщим расписываем все это дело как линейное уравнение относительно элементов матрицы B, и думаем!!!

[mihiv]

Насколько я понял из последнего сообщения serval'а речь идет просто о том при какой матрице $B$ выполняется матричное равенство $xACBy=0$,при условии,что выполнено равенство $xCy=0$,но очевидно,что если мы потребуем,чтобы $ACBy$ было равно $\lambda Cy$,где $\lambda$произвольный числовой множитель,то если существуют $A^{-1},C^{-1}$,выбрав $B=\lambda C^{-1}A^{-1}C$, получим нужное равенство.

[Xaositect]

Причем если элементы матриц $A$ и $C$ рациональны, то при определенном $\lambda$ матрица $B$ будет иметь целочисленные элементы.

[Shtirlic]

Xaositect
mihiv
Целочисленость элементов не проблема, а вот вопрос положительности (элементы натуральные числа) это проблема! Насамом деле подобрать матрицу несложно. Тут надо смотреть глубже, для чего это нужно будет дальше? Может там лучше будет определить какой-то конкретный вид!

[serval]

Цитата:

А так понял, вектора произвольные, только матрицы из натуральных чисел

Нет, ни векторы ни матрицы не произвольные.
Строка $x=\left(1,1,0\ \ldots\ 0\right)$ имеет размерность $1\times m$. Столбец $y=\left(\begin{array}{rrrrrrrr} 1\\0\\\vdots\\-1\\\vdots\\-1\\\vdots\\0 \end{array}\right)$ имеет размерность $m\times 1$, при этом, на него наложено условие: если одна $-1$ занимает $n+1$ позицию, то другая $-1$ занимает $m-n$ позицию.
Матрица $C=\left (\begin{array}{cccc} C_{m-1}^0&\ldots&C_1^0&C_0^0\\ \vdots&&C_1^1&\\ \\ C_{m-1}^{m-1}\\ \end{array}\right)$ составлена биномиальными коэффициентами, остальные элементы равны $0$.
Матрица $A=\left (\begin{array}{cccccc} 1&1\\ &2&2\\ &&\ddots&\ddots\\ &&&m-1&m-1\\ &&&&m\\ \end{array}\right)$ содержит на главной диагонали первые $m$ членов натурального ряда, а на первой наддиагонали - первые $m-1$ его членов, остальные элементы равны $0$.
Вроде, ничего не напутал.

P.S. Можно ли нарисовать $\ddots$ с наклоном в другую сторону?

[mihiv]

serval, а на элементы матрицы $B$ есть ограничения? Должны они быть натуральными, целыми?

[serval]

Цитата:

на элементы матрицы $B$ есть ограничения? Должны они быть натуральными, целыми?

Ещё не знаю. Давайте пока считать, что нету.

[Shtirlic]

Такие вопросы, у вектора x первые 2 элемента единицы, дальше нули??? У вектора $y$ первая единица, а дальше -1 по правилу, остальные нули??? И есть ли правило отбора еще -1 кроме указанного, каково их количество определено???

[serval]

Цитата:

у вектора x первые 2 элемента единицы, дальше нули???

Да, два первых элемента вектора $x$ равны $1$, остальные равны $0$.

Цитата:

У вектора $y$ первая единица, а дальше -1 по правилу, остальные нули???

Да, первый элемент вектора $y$ равен $1$, остальные, кроме двух равных $-1$ каждый, равны $0$.

Цитата:

есть ли правило отбора еще -1 кроме указанного, каково их количество определено???

С правилом я, всё-таки, немного напутал. Оно таково: если одна $-1$ занимает $n+1$ позицию, то другая $-1$ занимает $m-n+1$ позицию, где $n=1,2,\ \ldots$.
Теперь, кажется, правильно. При расчётах нужно будет проконтролировать.
Других правил выбора элементов вектора $y$ нет.

[Shtirlic]

serval
Да, так правильно! Вашу ошибку я видел!!! Все же давайте еще раз, для чего вам надо найти матрицу B, так как для любого из представленных случаев ее вариантов будет бесконечно много. Можно все просто раскрыть в лоб. Вам важны то будут только 3 строчки из B. Посчитайте отдельно xAC и By и перемножте между собой, там все должно быть довольно просто.