Простые числа, состоящие из одних единиц

[arqady]

Верно ли, что $11111111111$ является простым числом? Спасибо!

[meduza]

$21649 \cdot 513239$

[Someone]

Доказано, что числа, записываемые в десятичной системе счисления одними единицами (репьюниты), являются простыми, когда число единиц равно 2, 19, 23, 317 и 1031. Вероятно, простыми являются репьюниты, составленные из 49081 и 86453 единиц, но строгого доказательства нет. Подробности здесь: http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=57.

[maxal]

Someone в сообщении #257343 писал(а):

Вероятно, простыми являются репьюниты, составленные из 49081 и 86453 единиц, но строгого доказательства нет.

Еще 109297 и 270343. См. A004023

[arqady]

maxal в сообщении #257761 писал(а):

Someone в сообщении #257343 писал(а):

Вероятно, простыми являются репьюниты, составленные из 49081 и 86453 единиц, но строгого доказательства нет.

Еще 109297 и 270343. См. http://www.research.att.com/~njas/sequences/A004023

Странно... У чисел, составленных из 109297 или 270343 единиц есть какие-то специальные свойства, что удалось установить их простоту? Ведь, например, число, составленное из 49081 единиц, - гораздо меньше.

[maxal]

arqady в сообщении #257811 писал(а):

У чисел, составленных из 109297 или 270343 единиц есть какие-то специальные свойства, что удалось установить их простоту? Ведь, например, число, составленное из 49081 единиц, - гораздо меньше.

Эта два тоже вероятные простые. Все эти большие репюниты найдены с помощью OpenPFGW (или её вариаций).