Обращение принципа сжимающих отображений

[AGu]

Пусть $(X,\rho)$ — метрическое пространство.
Отображение $f:X\to X$ называется сжимающим, если существует
такое число $0\leqslant \alpha<1$, что $\rho\bigl(f(x),f(y)\bigr)\leqslant\alpha\cdot\rho(x,y)$ для всех $x,y\in X$.
Говорят, что отображение $f:X\to X$ имеет неподвижную точку,
если $f(x)=x$ для некоторого элемента $x\in X$.

Согласно принципу сжимающих отображений (он же — теорема Банаха
о неподвижной точке) всякое сжимающее отображение непустого
полного метрического пространства имеет неподвижную точку.

Справедливо ли обратное утверждение?
Иными словами, предлагается проверить следующую гипотезу.

Если $(X,\rho)$ — непустое метрическое пространство
и всякое сжимающее отображение $f:X\to X$ имеет
неподвижную точку, то $(X,\rho)$ является полным.

P.S. Порывшись в закромах dxdy, я не обнаружил там следов
этой веселой задачи. (Впрочем, рыльце у меня довольно ленивое.)

[AD]

Слышал, что это неверно. Но эту задачку я так и не решил в свое время.

-- Вс сен 27, 2009 21:50:53 --

Вот тут я совершил очень наивную попытку придумать контрпример:
post95035.html

[ShMaxG]

Кстати, это очень интересная задача. Например, можно попытаться поработать с неполным пространством $\[{l_p} = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left| {{x_n}} \right|}^p}} < \infty } \right\}\]$ с введенной метрикой $\[\rho \left( {x,y} \right) = {\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left| {{x_n}} \right|}^q}} } \right)^{\frac{1} {q}}}\]$, где $\[1 \leqslant p < q < \infty \]$.

По-крайней мере все мои попытки построить сжимающее отображение без неподвижной точки оказались неудачными.

Я немножко подумал и придумал такую штуку. Пусть $\[f\left( x \right) = \left( {{f_1}\left( {{x_1}} \right),{f_2}\left( {{x_2}} \right),...,{f_n}\left( {{x_n}} \right),...} \right)\] $, причем отображение введено корректно, т.е. $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left| {{f_n}\left( {{x_n}} \right)} \right|}^p}} < \infty \] $. Но т.к.$ \[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left| {{x_n}} \right|}^p}} < \infty \] $, то $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left| {{f_n}\left( {{x_n}} \right) - {x_n}} \right|}^p}} < \infty \] $. Это в свою очередь значит, что для каждого $\[x \in {l_p}\]$ существует некая последовательность $\[{\varepsilon _n}\left( {{x_n}} \right)\]$, такая что $\[{f_n}\left( {{x_n}} \right) = {x_n} + {\varepsilon _n}\left( {{x_n}} \right)\] $ (ну там со свойствами убывания и принадлежности пространству).

Отсюда вытекает один частный случай, если каждая компонента $x_n$ преобразуется одинаково по одному закону $\[f\left( {{x_n}} \right)\]$. Тогда видно, что $\[f\left( {{x_n}} \right) \to 0,{x_n} \to 0{\text{ }}\left( {n \to \infty } \right)\]$. 2 случая: если $f$ непрерывна в нуле, тогда сразу $f(0)=0$, и $x=0$ - неподвижная точка. А если разрывна, т.е. $f(0)=A \[ \ne \] 0$, то такого быть не может, т.к. $f$ тогда введена не корректно.

Так что если и подбирать как-то эти $f_{n} (x_{n})$, то разные для разных $n$.

[id]

Неверно оно. Вроде бы можно взять график $\sin x$ на $(0,1]$ с топологией, унаследованной из $\mathbb{R}^2$.

-- Чт окт 29, 2009 00:40:09 --

Ага, подходит. ( кажется )

Впрочем, другие контрпримеры мне тоже интересны, как и достаточные условия, чтобы оно все-таки выполнялось.

[Хорхе]

Очевидно не подходит, поскольку $\rho((x,\sin x),(y,\sin y))\asymp |x-y|$, ну а на $(0,1]$ куча примеров очень сильно сжимающих отображений без неподвижных точек.

Видимо, имелся в виду график $\sin(1/x)$? Там со сжимающими отображениями действительно как-то все печально.

[id]

Хорхе
Ага, опечатка.

[Хорхе]

На самом деле, хороший пример. Он показывает, что какой бы ни была убывающая к нулю функция $h$, из того, что всякое отображение $f$, удовлетворяющее $\rho(f(x),f(y))\le h(\rho(x,y))$, имеет неподвижную точку, не следует полнота пространства (надо поделить $\sin(1/x)$ на что-то подходящее).

[id]

Хитрость получается в том, что образ всего графика есть подмножество некоторого компакта вида $\{(x,\sin (\frac 1 x)): x\in [\delta,1] \}$ для некоторого $\delta > 0$, тогда взяв его ограничение на этот компакт $\{(x,\sin (\frac 1 x)): x\in [\delta,1] \}$ получаем неподвижную точку.

[AGu]

Поздравляю с решением. Кстати, по поводу сабжа есть статья
Márton Elekes. On a converse to Banach's Fixed Point Theorem
(Proc. Amer. Math. Soc. 2009. V. 137. P. 3139-3146),
где приведен тот же пример (и с той же идеей обоснования).

[id]

AGu
Откуда вы задачки/идеи/теорию берете, а? ( просто топологией/топологическими векторными пр-вами сам интересуюсь, учиться надо )