вычисление тройного интеграла.

[Sashasv]

Добрый день уважаемые, есть следующий пример:

$\int\int\limits_{V}\int\frac{dxdydz}{\left(1+\frac{x}{16}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}\right)^5}$

где: $V:\left(1+\frac{x}{16}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}\right)=1, x=0, y=o, z=0$

прошу помочь идеей или решением этого интеграла

[jetyb]

Перейдите к новым координатам $\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z}=\frac{x}{16}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}$ .

[Yu_K]

Sashasv в сообщении #257584 писал(а):

$\int\int\limits_{V}\int\frac{dxdydz}{\left(1+\frac{x}{16}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}\right)^5}$

где: $V:\left(1+\frac{x}{16}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}\right)=1, x=0, y=o, z=0$

проверьте условие - похоже что-то у вас там не верно. Ограничения не задают объема.

[Sashasv]

Вы правы
ошибка есть должно быть:

где: $V:\left(\frac{x}{16}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}\right)=1, x=0, y=o, z=0$


прошу прощения

-- Пн ноя 02, 2009 16:49:15 --

jetyb в сообщении #257589 писал(а):

Перейдите к новым координатам $\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z}=\frac{x}{16}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}$ .

это означает:

$0=z=1-\frac{x}{16}-\frac{y}{8}$
$0=y=1-\frac{x}{16}$
$0=x=1$

???

если да то решение получается очень громоздким с большими расчетами и дробями, нет ли возможности решить проще?

[Sashasv]

$\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{1-\frac{x}{16}}dy\int\limits_{0}^{1-\frac{x}{16}-\frac{y}{8}}\frac{dz}{\left(1+\frac{x}{16}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}\right)^5}$

при таком представлении (если оно верно) решение получается долгим, громоздким
можно ли решить проще???

[Yu_K]

http://matan.isu.ru/maple/9.html - формулы замены переменных в интеграле.

[ewert]

Sashasv в сообщении #258182 писал(а):

$\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{1-\frac{x}{16}}dy\int\limits_{0}^{1-\frac{x}{16}-\frac{y}{8}}\frac{dz}{\left(1+\frac{x}{16}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}\right)^5}$
при таком представлении (если оно верно) решение получается долгим, громоздким
можно ли решить проще???

Введите новую переменную $u=1+\frac{x}{16}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}$ (как с самого начала jetyb и предлагал), получится:

$$\int\limits_0^1{du\over(1+u)^5}\iint\limits_{D_{xy}(u)}dx\,dy\cdot J,$$

где $J$ -- якобиан (это константа), а $D_{xy}(u)$ -- это треугольник $\left\{x>0,\ y>0,\ \frac{x}{16}+\frac{y}{8}<u\right\}$. Площадь этого треугольника квадратично зависит от $u$ и понятно чему равна при $u=1$. Получится достаточно комфортный интеграл вида $\displaystyle\int_0^1{u^2\,du\over(1+u)^5}\cdot\mathrm{const}$.

Но и в лоб не так уж и громоздко выходит, требуется всего лишь аккуратность, а подынтегральные выражения будут несложными.

[Yu_K]

ewert в сообщении #258492 писал(а):

Sashasv в сообщении #258182 писал(а):

$\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{1-\frac{x}{16}}dy\int\limits_{0}^{1-\frac{x}{16}-\frac{y}{8}}\frac{dz}{\left(1+\frac{x}{16}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}\right)^5}$
при таком представлении (если оно верно) решение получается долгим, громоздким
можно ли решить проще???

Введите новую переменную $u=1+\frac{x}{16}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}$ (как с самого начала jetyb и предлагал), получится:

$$\int\limits_0^1{du\over(1+u)^5}\iint\limits_{D_{xy}(u)}dx\,dy\cdot J,$$

где $J$ -- якобиан (это константа), а $D_{xy}(u)$ -- это треугольник $\left\{x>0,\ y>0,\ \frac{x}{16}+\frac{y}{8}<u\right\}$. Площадь этого треугольника квадратично зависит от $u$ и понятно чему равна при $u=1$. Получится достаточно комфортный интеграл вида $\displaystyle\int_0^1{u^2\,du\over(1+u)^5}\cdot\mathrm{const}$.

Но и в лоб не так уж и громоздко выходит, требуется всего лишь аккуратность, а подынтегральные выражения будут несложными.

ewert может так правильнее
Введите новые переменные $u=1+\frac{x}{16}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}$ $x=x $ $y=y$ , получится:

$$\int\limits_{U_2}^{U_1}{du\over(u)^5}\iint\limits_{D_{xy}(u)}dx\,dy\cdot J,$$

[ewert]

Что в лоб, что по лбу, а интегрировать от нуля до единицы приятнее. Замену всегда успеется сделать.

[Sashasv]

Спасибо за помощь!

[ewert]

а, да, только сейчас понял, что хотел сказать Yu_K. Я там в своей замене единичку забыл стереть, имелось в виду $u={x\over16}+{y\over8}+{z\over3}$.