публикация статьи на тему Диофантов кубоид

[vasiliu]

Здравствуйте. Прошу прощения за столь неподходящий вопрос для данной темы, но в теме Интернет-ресурсов сообщения не добавляются...

Подскажите, где в сети можно опубликовать статью на тему Диофантов кубоид?
Желательно чтобы с ней ознакомилось как можно большее количество человек. Если можно дайте ссылку на ресурс, в котором можно прикреплять документы к сообщениям, а то я встречал парочку сайтов, там эта опция не доступна, а перепечатывать статью, формулы и т.д. и т.п. желания нет.

Спасибо.

[Бодигрим]

vasiliu в сообщении #255080 писал(а):

Подскажите, где в сети можно опубликовать статью на тему Диофантов кубоид?

А что такое диофантов кубоид?

[vasiliu]

Рациональный кубоид или диофантов кирпич
http://ru.wikipedia.org/wiki/Рациональный_кубоид

[Бодигрим]

Ага. А в статье вы, я так понимаю, доказали, что его не существует? И вы хотите, чтобы вашу статью проверили на наличие в ней ошибок?

[shwedka]

vasiliu
По этому поводу есть топик 'кухня научных публикаций'
http://dxdy.ru/topic17373.html.
Пошлите мне статью, скажу, что думаю. Мыло в профиле.

[age]

Решением Эйлерова параллелепипеда является следующая система:
$\begin{cases} u^2-t^2=k(m^2-n^2)\\ 2ut=d(p^2-q^2)\\ d\cdot pq=k\cdot mn \end{cases}$
Одним из решений является:
$\begin{cases} 18^2-7^2=5(8^2-3^2)\\ 2\cdot18\cdot7=12(5^2-2^2)\\ 12\cdot5\cdot2=5\cdot8\cdot3 \end{cases}$

Для того, чтобы данный параллелепипед стал рациональным необходимо соблюдение еще одного четвертого условия:
$(u^2+t^2)^2+(2mnk)^2=x^2$
Выполнение которого влечет за собой существование решения системы:
$\begin{cases} u^2+t^2=r^2-s^2\\ mnk=rs=dpq. \end{cases}$

[age]

Одновременное выполнение всех четырех условий:
$\begin{cases} u^2-t^2=k(m^2-n^2)\\ 2ut=d(p^2-q^2)\\ d\cdot pq=k\cdot mn\\ (u^2+t^2)^2+(2mnk)^2=x^2 \end{cases}$

требует также выполнение некоторой системы:

$\begin{cases} m^2+(2ab)^2=x^2\\ m^2+(a^2-b^2)^2=y^2\\ m^2+(a^2+b^2)^2=z^2 \end{cases}$

Которая при взаимно простых $a,\ b$ является несовместной. Если же $a,\ b$ являются не взаимно простыми (оба четны), то тогда все три ребра кубоида будут также четны. А следовательно, найдется меньший кубоид.

Предлагаю самостоятельно доказать, что система:
$\begin{cases} m^2+252^2=x^2\\ m^2+275^2=y^2\\ m^2+373^2=z^2 \end{cases}$

несовместна. (Хотя можно конечно, и методом перебора. Достаточно проверить все $m<32000$).

[age]

Что-то не верится, чтобы:

Цитата:

До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. Компьютерный перебор не нашёл ни одного целочисленного кирпича с рёбрами до $10^{11}$[2]

других средств, кроме компьютерного перебора до сих пор не нашлось!

[age]

Считаю нужным обосновать свое решение.

1. Пусть даны три ребра параллелепипеда $a,b,c$ - целые числа. Необходимо найти такие значения $a,b,c$, чтобы все диагонали граней, а также пространственная диагональ были также целыми числами.
Другими словами необходимо найти решение системы:

$\begin{cases} a^2+b^2=e^2\\ a^2+c^2=h^2\\ b^2+c^2=f^2\\ a^2+b^2+c^2=x^2 \end{cases}$

2. Рассмотрим вначале необходимые условия выполнения первых трех уравнений системы, требующих целочисленность диагоналей граней.
Выполнение первого уравнения системы требует, чтобы:
$a=u^2-t^2$, $b=2ut$
Выполнение второго уравнения системы требует, чтобы:
$a=m^2-n^2$, $c=2mn$
Выполнение третьего уравнения системы требует, чтобы:
$b=p^2-q^2$, $c=2pq$

3. Сводя все три условия в систему, получаем:

$\begin{cases} u^2-t^2=m^2-n^2\\ 2ut=p^2-q^2\\ 2mn=2pq\\ \end{cases}$

Откуда немедленно следует, что $b$ - четное число, а поэтому числа $p,\ q$ имеют общий четный множитель $d$. Ввиду чего второе уравнение второй системы должно иметь вид:
$2ut=d(p^2-q^2)$
Но тогда и третье уравнение первой системы потребует, чтобы:
$b=d(p^2-q^2)$, $c=2dpq$. После чего третье уравнение второй системы примет вид $d\cdot pq=mn$. Таким образом, как минимум два ребра рационального кубоида $b,\ c$ должны быть четны. Следовательно, третье ребро $a$ - нечетно (иначе все три ребра четны).

4. Несложно также показать, что нечетное ребро $a$ может иметь общий множитель $k$ либо с одним, либо с обоими четными ребрами. Откуда второе уравнение первой системы также может иметь вид:
$a=k(m^2-n^2)$, $b=2kmn$. После чего первое уравнение второй системы примет вид:
$u^2-t^2=k(m^2-n^2)$
(причем это условие для сути решения рационального кубоида является необязательным).

5. Таким образом, суммируя все условия выше получим систему, приведенную вначале:
$\begin{cases} u^2-t^2=k(m^2-n^2)\\ 2ut=d(p^2-q^2)\\ d\cdot pq=k\cdot mn\\ \end{cases}$

если общие множители с одним четным ребром, либо

$\begin{cases} \varphi(u^2-t^2)=k(m^2-n^2)\\ 2\varphi\cdot ut=d(p^2-q^2)\\ d\cdot pq=k\cdot mn\\ \end{cases}$

если с обоими четными ребрами.


6. После чего требуя, чтобы пространственная диагональ была также квадратом, приходим к некоторой системе:

$\begin{cases} m^2+(2ab)^2=x^2\\ m^2+(a^2-b^2)^2=y^2\\ m^2+(a^2+b^2)^2=z^2 \end{cases}$

где $a,\ b$ - разной четности.
Найденный мной путь ее решения не до конца проверен. Использовался метод, предложенный вот в этой теме.

[KORIOLA]

Уважаемый age!
Перебор вариантов не нужен.
Уравнение:
$m^2+252^2=x^2$
имеет три решения: при $m=189;$ $m=7936;$
$m=15875;$
Уравнение:
$m^2+275^2=y^2$
имеет четыре решения: при $m=660;$ $m=1500;$ $m=3443;$ $m=7560$
Уравнение:
$m^2+373^2=z^2$ имеет единственное решение при $m=69564$
Во всех трех уравнениях значения числа $m$ разные.
Методику решения каждого из приведенных Вами уравнений Вы найдете в приведенной на этом форуме моей теме "Алгебраическое решение уравнения теоремы Пифагора".
С помощью изложенной в этой теме методики Вы элементарно найдете для любого заданного числа все пары чисел, которые с этим числом образуют тройки пифагоровых чисел.
P.S. Поскольку в указанных уравнениях требовалось найти значения числа $m,$ то значения соответствующих им чисел $x, y, z$ я не привел. Они находятся также легко.
KORIOLA

[KORIOLA]

Для age
Уточнение с дополнением:
для первого уравнения четвертое решение при $m=3965;$
для второго уравнения пятое решение при $m=240$
Суть не меняется: надо просто перебрать все варианты в соответствии с изложенной мною методикой решения уравнения теоремы Пифагора.
P.S. Всегда найдутся такие, кто найдет пропущенный вариант и будет злорадствовать, при этом суть вопроса его уже не будет интересовать.
KORIOLA
Дополнение 2: как я понял, в ваших уравнениях:
$252=2ab=2\cdot18\cdot7;$
$275=a^2-b^2;$
$373=a^2+b^2$
Из ваших же примеров следует, что числа $a$ и $b$ должны быть или оба взаимно простыми нечетными, или взаимно простыми, из которых одно четное, а другое - нечетное.
Дополнение 3: не все понял в отношении упомянутого числа $10^{11},$ но может быть этот пример имеет к нему отношение:
$(495\cdot10^9)^2+(10^{11})^2=(505\cdot10^9)^2.$
Но тогда все сокращается на $10^{18}$

[age]

KORIOLA
Спасибо. Но надо просто решить систему:
$\begin{cases} m^2+(2ab)^2=x^2\\ m^2+(a^2-b^2)^2=y^2\\ m^2+(a^2+b^2)^2=z^2 \end{cases}$

[KORIOLA]

Уважаемый age!
Я случайно открыл эту страницу и меня заинтересовала эта задача.
В Интернете я нашел статью Казакова Ю. В., в которой приведена иная система уравнений. Она мне как конструктору более понятна: обыкновенная геометрия.
Но его система состоит из 4 уравнений и содержит 7 неизвестных. Казаков Ю. В.
рекомендует начать решение задачи с решения уравнения для пространственной диагонали, при этом взять за параметр значение величины этой диагонали. Я не последовал его совету и, используя свой метод, легко вывел уравнения для определения 5 из 7 неизвестных величин: x, y, z, n,d, где x, y, z - ребра; n- диагональ на грани; d - пространственная диагональ. Сейчас пытаюсь найти уравнения для определения двух других диагоналей. Возникла проблема совпадения значений одного из ребер, определяемых по разным формулам. Предварительный вывод: если случайто такое совпадение будет иметь место, то и система уравнений будет решена, хотя я в этом сомневаюсь.
В статье Казакова Ю. В. приведены примеры, где с помощью компьютера найдено 6 из 7 неизвестных. Значит, совпадение иногда имело место, но пока только для одной диагонали.
Попытаюсь решить Вашу систему уравнений. В ней на одно уравнение меньше и на одну искомую величину тоже.
P.S. В своем решении я взял за параметр X- величину одного из ребер, и все найденные мною величины являются функцией этого числа. Я пришел к выводу, что чем больше число, взятое за параметр, включает в себя простых сомножителей, те больше количество значений чисел,определяемых с использованием его как параметра, и тем больше вероятность нахождения решения системы уравнений. С простыми числами, видимо, решения нет.

KORIOLA

[KORIOLA]

Уважаемый age!
Два из тройки приведенных Вами уравнений легко преобразовываются моим методом. Из моих расчетов следует, что числа $m,$ определенные в отдельности по каждому из этих двух уравнений, если я нигде не ошибся, никогда не могут быть равны между собой. Преобразование третьего уравнения без конкретных числовых премеров невозможно, т. к. выражение $(a^2+b^2)$ не имеет разлажения на алгебраические множители. Однако достаточно выводов, сделанных из решения первых двух уравнений. Приведу расчеты в порядок - перешлю Вам.
KORIOLA

[venco]

age в сообщении #257101 писал(а):

Считаю нужным обосновать свое решение.

1. Пусть даны три ребра параллелепипеда $a,b,c$ - целые числа. Необходимо найти такие значения $a,b,c$, чтобы все диагонали граней, а также пространственная диагональ были также целыми числами.
Другими словами необходимо найти решение системы:

$\begin{cases} a^2+b^2=e^2\\ a^2+c^2=h^2\\ b^2+c^2=f^2\\ a^2+b^2+c^2=x^2 \end{cases}$

2. Рассмотрим вначале необходимые условия выполнения первых трех уравнений системы, требующих целочисленность диагоналей граней.
Выполнение первого уравнения системы требует, чтобы:
$a=u^2-t^2$, $b=2ut$
Выполнение второго уравнения системы требует, чтобы:
$a=m^2-n^2$, $c=2mn$
Выполнение третьего уравнения системы требует, чтобы:
$b=p^2-q^2$, $c=2pq$

Простите, почему? Вы привели условия для взаимно простых оснований, но в нашем случае одна пара сторон может быть и не взаимно простой.