Считаю нужным обосновать свое решение.
1. Пусть даны три ребра параллелепипеда

- целые числа. Необходимо найти такие значения

, чтобы все диагонали граней, а также пространственная диагональ были также целыми числами.
Другими словами необходимо найти решение системы:

2. Рассмотрим вначале необходимые условия выполнения первых трех уравнений системы, требующих целочисленность диагоналей граней.
Выполнение первого уравнения системы требует, чтобы:

,

Выполнение второго уравнения системы требует, чтобы:

,

Выполнение третьего уравнения системы требует, чтобы:

,

3. Сводя все три условия в систему, получаем:

Откуда немедленно следует, что

- четное число, а поэтому числа

имеют общий четный множитель

. Ввиду чего второе уравнение второй системы должно иметь вид:

Но тогда и третье уравнение первой системы потребует, чтобы:

,

. После чего третье уравнение второй системы примет вид

. Таким образом, как минимум два ребра рационального кубоида

должны быть четны. Следовательно, третье ребро

- нечетно (иначе все три ребра четны).
4. Несложно также показать, что нечетное ребро

может иметь общий множитель

либо с одним, либо с обоими четными ребрами. Откуда второе уравнение первой системы также может иметь вид:

,

. После чего первое уравнение второй системы примет вид:
(причем это условие для сути решения рационального кубоида является необязательным).5. Таким образом, суммируя все условия выше получим систему, приведенную вначале:

если общие множители с одним четным ребром, либо

если с обоими четными ребрами.
6. После чего требуя, чтобы пространственная диагональ была также квадратом, приходим к некоторой системе:

где

- разной четности.
Найденный мной путь ее решения не до конца проверен. Использовался метод, предложенный вот в
этой теме.