Повторные ядра интегрального уравнения Вольтера

[integral2009]

Есть пару вопросов по билетам
1)Дать определение повторного (итерированного) ядра интегрального оператора Вольтерра. Ядром какого интегрального оператора оно является?
Разве ответ на второй вопрос не содержится в первой части вопроса? т.е Вольтерра?
Достаточно ли для этого вопроса выписать интегрально уравнение Вольтерра 2-го рода
$\phi(x)=f(x)+\lambda{\int\limits_0^xK(x,t)\phi(t)dt$
и написать, что итерированные ядра для него определяются следующим соотношением
$K_{n+1}=\int\limits_t^x{K(x,z)K_n(z,t)dz$ $(n=1,2,...)$
2)Дать определение сопряженного интегрального уравнения
$\phi(x)=f(x)+\lambda{\int\limits_0^xK(x,t)\phi(t)dt$(1)
Интегральное уравнение, сопряженное (1)
$\psi(x)=f(x)+\lambda{\int\limits_0^xK^*(x,t)\psi(t)dt$
$K^*(x,t)=\overline{K(x,t)}$
Можно ли что-то еще написать по этому вопросу?)

[ewert]

integral2009 в сообщении #256640 писал(а):

Разве ответ на второй вопрос не содержится в первой части вопроса? т.е Вольтерра?

В общем, да, содержится, но только если сформулировать ответ на первый вопрос аккуратно. Для этого к Вашей замечательной формуле

Цитата:

$\phi(x)=f(x)+\lambda{\int\limits_0^xK(x,t)\phi(t)dt$

надо добавить слова: "но только при $x\geqslant t$, а иначе ноль!". Это ровно и будет означать, что все операторы -- именно Вольтерра (по индукции).

-- Пт окт 30, 2009 16:09:09 --

integral2009 в сообщении #256640 писал(а):

Интегральное уравнение, сопряженное (1)
$\psi(x)=f(x)+\lambda{\int\limits_0^xK^*(x,t)\psi(t)dt$
$K^*(x,t)=\overline{K(x,t)}$
Можно ли что-то еще написать по этому вопросу?)

Можно. Во-первых, лямбду тоже надо сопрягать. Во-вторых, эрмитово сопряжение ядра подразумевает ещё и перестановку аргументов (соответственно, и фактические пределы интегрирования изменятся).

[integral2009]

Спасибо!
Т.е. так?
$\psi(t)=f(t)+\overline{\lambda}{\int\limits_0^tK^*(x,t)\psi(x)dx$
$K^*(x,t)=\overline{K(t,x)}$

[ewert]

Нет, не так. Вы фактически ничего не изменили (кроме чёрточки над $\lambda$) -- только поменяли местами обозначения $t$ и $x$.

И -- пределы. Оператор считается вольтерровским, если его ядро тождественно равно нулю на соответствующем треугольнике. Но ведь при сопряжении этот треугольник перевернётся. Соответственно, изменятся и пределы интегрирования.

[integral2009]

$\psi(x)=f(x)+\overline{\lambda}{\int\limits_x^bK^*(x,t)\psi(t)dt$

Так?

[ewert]

Примерно. Только кто будет менять местами аргументы ядра?...

(звёздочка над ядром -- обозначение двусмысленное, лучше его не использовать)

[integral2009]

$\psi(x)=f(x)+\overline{\lambda}{\int\limits_x^b\overline{K(t,x)}\psi(t)dt$
Кстати, а f(x) ведь тоже нужно сопрячь?
Может все-таки так?

$\overline{\phi(x)}=\overline{f(x)}+\overline{\lambda}{\int\limits_x^b\overline{K(t,x)}\overline{\phi(t)}dt$

[ewert]

integral2009 в сообщении #256699 писал(а):

$\psi(x)=f(x)+\overline{\lambda}{\int\limits_x^b\overline{K(t,x)}\psi(t)dt$

Правильно.

integral2009 в сообщении #256699 писал(а):

Кстати, а f(x) ведь тоже нужно сопрячь?
Может все-таки так?

$\overline{\phi(x)}=\overline{f(x)}+\overline{\lambda}{\int\limits_x^b\overline{K(t,x)}\overline{\phi(t)}dt$

Нет, функции сопрягать категорически не следует. И вообще: решение исходного уравнения никак непосредственно не связано с решением сопряжённого. Соответственно, и свободные члены "$f(x)$" в этих двух уравнениях не имеют ничего общего. Там логика другая: некоторые свойства решений исходного уравнения определяются некоторыми свойствами уравнения сопряжённого.

[integral2009]

Чего-то совсем запутался... $g(x)$ должно быть?$\psi(x)=g(x)+\overline{\lambda}{\int\limits_x^b\overline{K(t,x)}\psi(t)dt$

[ewert]

Можно и $g$ -- какая разница.

Собственно, и само сопряжённое уравнение вводится только для одного. Для того, чтобы можно было воспользоваться теоремой об "ортогональное дополнение до множества значений есть множество нулей сопряжённого оператора". И, соотв., исходная задача разрешима при условии, что $ в нём ортогональна любым решениям однородного сопряжённого уравнения, т.е. с $.