Операция над числами

[Sasha2]

Вот сразу не могу так сообразить.
Вот в множестве, ну скажем вещественных чисел, операция умножения дистрибутивна по отношению к сложения.
А можно ли во множестве вещественных чисел указать (желательно нетривиальную) операцию, которая была бы дистрибутивна по отношению к умножению?

[ИСН]

$e^{\ln x\cdot\ln y}$. Можете, впрочем, как раз её-то и назвать тривиальной, ибо - - -.

[Sasha2]

Нет ну - это тривиальная операция раз, а во вторых, она определена только для положительных x и y.

Кстати попутно хотел бы задать еще один вопрос, а именно вот сами операции сложения и умножения отличаются чем-то фундаментальным среди других функций двух переменных, определенных на множестве вещественных чисел.
Короче в чем различие между функцией и операцией?

[AD]

Sasha2 в сообщении #255671 писал(а):

Короче в чем различие между функцией и операцией?

Бинарная операция - это отображение $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$. Функция двух переменных - это отображение $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$.
Джонсон и Джонсон. Почувствуйте разницу.
^_^

[Sasha2]

Нет, такой примитивный подход вряд ли заслуживает внимания.
Все же должно быть различие между сложением и умножением и еще какими-либо двумя другими функциями также из R в и на R.

[Бодигрим]

AD в сообщении #255751 писал(а):

Бинарная операция - это отображение $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$. Функция двух переменных - это отображение $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$.

Вообще говоря, функция двух переменных "в вакууме" совершенно не обязана иметь множеством образов то же $\mathbb{R}$. Хотя это чаще всего подразумевается.

Sasha2 в сообщении #255671 писал(а):

Кстати попутно хотел бы задать еще один вопрос, а именно вот сами операции сложения и умножения отличаются чем-то фундаментальным среди других функций двух переменных, определенных на множестве вещественных чисел.

Ничем и всем, если вкратце. То есть с одной стороны данные операции - это некие функции двух переменных, самые обыкновенные. С другой стороны - это именно те две функции, относительно которых множество вещественных чисел становится полем.

[Sasha2]

То есть это надо понимать так.
Не существует другой пары функций двух переменных из R на и в R относительно которых R становится полем (может быть с другим нулем и сдругой единицей).

[Xaositect]

Sasha2 в сообщении #255807 писал(а):

Не существует другой пары функций двух переменных из R на и в R относительно которых R становится полем (может быть с другим нулем и сдругой единицей).

Конечно, существует. Но все такие поля изоморфны, т.е. по сути это будут те же сложение и умножение, но на "перемешанном" $\mathbb{R}$.

[AD]

Бодигрим в сообщении #255804 писал(а):

Вообще говоря, функция двух переменных "в вакууме" совершенно не обязана иметь множеством образов то же $\mathbb{R}$.

Ну да, ну и операция тоже. Но раз уж мы в $\mathbb{R}$, то всё случайно совпало.

Sasha2 в сообщении #255799 писал(а):

Нет, такой примитивный подход вряд ли заслуживает внимания.

Это просто общепринятые определения.

Sasha2 в сообщении #255799 писал(а):

Все же должно быть различие между сложением и умножением и еще какими-либо двумя другими функциями также из R в и на R.

Про сложение и умножение можно много хорошего сказать. Ну там что поле образуют, непрерывны, с порядком дружат итп.

[Бодигрим]

AD в сообщении #255851 писал(а):

Ну да, ну и операция тоже.

Не уверен, меня учили как раз, что бинарная операция - это функция из $A^2$ именно и только в $A$. Иначе нельзя говорить о коммутативности и прочих радостях жизни, которые обычно вводятся для бинарных операций без всяких дополнительных ограничений. Ну да ладно, это все уже почти оффтоп пошел.

[RIP]

Xaositect в сообщении #255809 писал(а):

Sasha2 в сообщении #255807 писал(а):

Не существует другой пары функций двух переменных из R на и в R относительно которых R становится полем (может быть с другим нулем и сдругой единицей).

Конечно, существует. Но все такие поля изоморфны, т.е. по сути это будут те же сложение и умножение, но на "перемешанном" $\mathbb{R}$.

Это неправда (про изоморфность), например, поле положительной характеристики ну никак не может быть изоморфным $\mathbb R$.

[Xaositect]

RIP в сообщении #255901 писал(а):

Это неправда (про изоморфность), например, поле положительной характеристики ну никак не может быть изоморфным .

Ну да, меня сглючило, я держал в уме то, что полное архимедово упорядоченное поле изоморфно $\mathbb{R}$. Извиняюсь.

[VAL]

RIP в сообщении #255901 писал(а):

Xaositect в сообщении #255809 писал(а):

Sasha2 в сообщении #255807 писал(а):

Не существует другой пары функций двух переменных из R на и в R относительно которых R становится полем (может быть с другим нулем и сдругой единицей).

Конечно, существует. Но все такие поля изоморфны, т.е. по сути это будут те же сложение и умножение, но на "перемешанном" $\mathbb{R}$.

Это неправда (про изоморфность), например, поле положительной характеристики ну никак не может быть изоморфным $\mathbb R$.

Вопрос спорный. Точнее, некорректный. Поскольку зависит от того, что мы понимаем под $\mathbb{R}$. Я привык, вслед за Кронекером, считать, что постулировать надо натуральные числа. Там сложение и умножение, удовлетворяющие грассмановскому индуктивному определению, единственны. Построение целых и рациональных через факторизацию $\mathbb N \times \mathbb N$ и $\mathbb N \times \mathbb Z$ не приводят к появлению неизоморфных копий. Пополнение $\mathbb Q$ по метрике "абсолютная величина" (а других архимедовых метрик на $\mathbb Q$ нет) тоже. Полю не изоморфому $\mathbb R$ на этом пути возникнуть неоткуда.

Иное дело, как нибудь задать на множестве континуальной мощности структуру поля. Но причем здесь $\mathbb R$?

[AD]

Бодигрим в сообщении #255870 писал(а):

Не уверен, меня учили как раз, что бинарная операция - это функция из $A^2$ именно и только в $A$.

Ну вот я и говорю, что если $A\neq\mathbb{R}$, то ...

[Mikhail Sokolov]

Sasha2 в сообщении #255671 писал(а):

...вот сами операции сложения и умножения отличаются чем-то фундаментальным среди других функций двух переменных, определенных на множестве вещественных чисел.

Здесь уместно вспомнить, например, что если $I\subset R$ - открытый интервал, то всякая непрерывная группа $(I,\circ)$ изоморфна $(R,+)$.