Неразличение "среды" задачи в математике

[STilda]

Circiter,AD я понимаю, про что вы говорите. Пока вы не отличаете треугольник на плоскости от треугольника в объеме вы будете правы, будут раобтать изоморфизмы, гиперплоскости и так далее. Я же поставил вопрос о РАЗЛИЧИИ этих объектов. Вы же знаете, что сколько бы схожестей вы не указали, это не доказывает отсутствие различий.
Какие различия вы видите между треугольником в 3D и 2D?

[AD]

STilda в сообщении #255087 писал(а):

Какие различия вы видите между треугольником в 3D и 2D?

Можно поговорить о том, из каких элементов состоят они, как множества, но ответ будет слишком существенно зависеть от способа построения математики (вполне может оказаться, что это даже одинаковые множества).

[STilda]

Нуу, из множества трехмерных точек (x,y,z) и множества двухмерных точек (x,y)?

[Виктор Ширшов]

STilda в сообщении #254934 писал(а):

А треугольники могуть существовать в неэвклидовых пространствах?

Пока представляю себе тетраугольник, в котором в советское время паковали молоко

[Someone]

STilda в сообщении #255087 писал(а):

Пока вы не отличаете треугольник на плоскости от треугольника в объеме вы будете правы, будут раобтать изоморфизмы, гиперплоскости и так далее. Я же поставил вопрос о РАЗЛИЧИИ этих объектов. Вы же знаете, что сколько бы схожестей вы не указали, это не доказывает отсутствие различий.

STilda в сообщении #255183 писал(а):

Нуу, из множества трехмерных точек (x,y,z) и множества двухмерных точек (x,y)?

Изоморфизму на это начхать. Двумерная плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве изоморфна двумерной евклидовой плоскости с учётом всех структур, существенных для формулировки теоремы Пифагора.

STilda в сообщении #255087 писал(а):

Какие различия вы видите между треугольником в 3D и 2D?

А какие Вы видите между ними существенные отличия, мешающие формулировке теоремы Пифагора для треугольников в пространстве? В условии теоремы требуется только наличие прямого угла, а утверждение включает только длины сторон. Чего из этого нет в трёхмерном евклидовом пространстве?

[STilda]

Два вопроса.
1. С переходом от линии к плоскости появляется новый закон - теорема Пифагора. С переходом из плоскости в объем нового закона не возникает. Почему? Может настоящего перехода и не совершили?

2. Дан треугольник. Определить какой он, 2D или 3D.

-- Ср окт 28, 2009 01:08:13 --

Someone в сообщении #255318 писал(а):

А какие Вы видите между ними существенные отличия, мешающие формулировке теоремы Пифагора для треугольников в пространстве? В условии теоремы требуется только наличие прямого угла, а утверждение включает только длины сторон. Чего из этого нет в трёхмерном евклидовом пространстве?

Оригинальное Утверждение не включает длины сторон. Оно говорит про площади квадратов построенных на катетах и гипотенузе. Площадь является атрибутом плоскости. В объеме нет площадей.

[Circiter]

2STilda

Цитата:

С переходом от линии к плоскости появляется новый закон - теорема Пифагора. С переходом из плоскости в объем нового закона не возникает.

Возникает. Треугольник на линии вырожден, там не нужна теорема Пифагора. Треугольнику нужна плоскость и неважно в каком пространстве эта плоскость находится. Т.е. трегольник нужно пространство размерности большей или равной двум и везде будет работать теорема Пифагора.

Если же вам нужны новые "теоремы Пифагора" в евклидовых пространствах больших размерностей, то нужно будет рассматривать обобщения треугольников, i.e. симплексы. Например, для трехмерного пространства можно изучать свойства тетраэдра, т.е. трехмерного треугольника.

Цитата:

Дан треугольник. Определить какой он, 2D или 3D

Вообще, треугольник можно воспринимать как некоторую комбинаторную структуру о размерности которой вообще не стоит задумываться. Реализацию этой структуры (погружение или вложение в какое-то конкретное пространство) можно считать двумерной в геометрическом смысле (так как треугольник существует на плоскости, где бы она не находилась) или одномерной в топологическом смысле (если определить треугольник как замкнутую ломаную линию).

Цитата:

В объеме нет площадей.

Ну представьте себе площадь поверхности шара, к примеру.

P.S.: Я между прочим и не утверждал, что можно напрямую использовать теорему Пифагора и вообще любые известные законы планиметрии применительно к реальным треугольникам, т.е. к трем отрезкам попарно соединяющим три материальные точки. Cf. ОТО.

[Someone]

STilda в сообщении #255752 писал(а):

1. С переходом от линии к плоскости появляется новый закон - теорема Пифагора. С переходом из плоскости в объем нового закона не возникает. Почему? Может настоящего перехода и не совершили?

Ерунду говорите. Теорема Пифагора - это не новый закон. Можно сформулировать аксиомы евклидовой геометрии и посмотреть, какие из них выполняются на прямой, на плоскости и в пространстве. Теорема Пифагора из этих аксиом выводится, а не является самостоятельным "новым законом". Трёхмерным аналогом теоремы Пифагора можно считать теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда ($d^2=a^2+b^2+c^2$).

STilda в сообщении #255752 писал(а):

2. Дан треугольник. Определить какой он, 2D или 3D.

По определению треугольник - плоская фигура. Даже если расположен в пространстве.
И аксиома специальная есть: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Вот берём треугольник, через три его вершины проводим плоскость, в ней он и располагается. По определению.

STilda в сообщении #255752 писал(а):

Оригинальное Утверждение не включает длины сторон. Оно говорит про площади квадратов построенных на катетах и гипотенузе.

Стройте на здоровье, кто Вам мешает. Только это эквивалентные формулировки.

STilda в сообщении #254736 писал(а):

Мы не обращаем внимание на среду в которой ставится задача и в которой требуется ее решение. Среду существования объектов условия задачи.

Неправда. То есть, Вы, может быть, и не обращаете. А другие обращают.

STilda в сообщении #254736 писал(а):

Например имея треугольник в 3D мы запросто используем для него теорему Пифагора. А можно ли? Мы говорим, что можно рассматривать плоскость в которой лежит этот треугольник и на плоскости работают все "плоские" теоремы, поэтому они работают и в 3D.
На самом деле, при таком подходе мы меняем условия задачи, решаем задачу для другого пространства.

Неправда. Поскольку упомянутая плоскость расположена в том самом пространстве, в котором мы решаем задачу.

STilda в сообщении #254736 писал(а):

Для треугольника в 3D не работает теорема Пифагора так как он задается тремя координатами а не двумя. Фактически мы решаем задачу на проэкции, хотя поставлена она в объеме.

Неправда. Никаких проекций в данном случае не рассматривается. Теорема Пифагора применяется именно к тому треугольнику, который задан, а не к какой-то проекции.

STilda в сообщении #254736 писал(а):

Вообще, если быть честным, то мы не ставим задачу в объеме. Поэтому и наше решение на проэкции нас удовлетворяет.

Ещё что придумаете?

STilda в сообщении #254736 писал(а):

Но суть вопроса в следующем. Задачи у нас исходят из реальности. Если у нас система описывается тремя параметрами (в 3D) то это три параметра, три наблюдаемых величины, характеризующих систему. Что же означает вот эта фраза "проведем плоскость через треугольник"? Это ведь изменение условий физического эксперимента.

Никто никаких условий не изменяет, это Ваши нездоровые фантазии. Или Вы считаете, что, мысленно представляя себе эту плоскость, Вы оказываете влияние на физические процессы, существенно искажающее их ход?

И вообще, не надо путать математику с физикой. Из этого ничего, кроме глупостей, получиться не может. В природе нет точек, прямых, плоскостей, треугольников. И пространства как физического объекта тоже нет.

STilda в сообщении #254736 писал(а):

Мы должны взять другие датчики, мерять другие величины (с другими единицами измерения)... А всегда ли мы можем три единицы измерения заменить на две другие (сохраняя полноту описания системы)? Наверное никогда. Поэтому этот трюк с "проведем плоскость" не всегда имеет право быть.

Глупости какие-то. Причём тут датчики? Причём тут полнота описания? Кто сказал, что, проводя плоскость через вершины треугольника, мы всё остальное выбрасываем?

[STilda]

Someone в сообщении #255782 писал(а):

Ерунду говорите. Теорема Пифагора - это не новый закон. Можно сформулировать аксиомы евклидовой геометрии и посмотреть, какие из них выполняются на прямой, на плоскости и в пространстве. Теорема Пифагора из этих аксиом выводится, а не является самостоятельным "новым законом". Трёхмерным аналогом теоремы Пифагора можно считать теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда ().

Не правильно строите логику. Какие аксиомы не нужны в 2D но нужны в 3D? Ваша "теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда" получается через двухшаговое использованием теоремы Пифагора а не нечто новое. Приведите результат для 3D, который нельзя вывести используя теорему Пифагора.

-- Ср окт 28, 2009 12:27:07 --

Someone в сообщении #255782 писал(а):

Глупости какие-то. Причём тут датчики? Причём тут полнота описания? Кто сказал, что, проводя плоскость через вершины треугольника, мы всё остальное выбрасываем?

Проводя плоскость мы получаем решение для плоскости. Я запрещаю проводить плоскость. Так как вы сами сказали что это аксиома, то я вправе ее изъять, не так ли?.

Цитата:

И аксиома специальная есть: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Стройте свои рассуждения без этой аксиомы.

[master]

А какую систему координат можно использовать?

[STilda]

Цитата:

Или Вы считаете, что, мысленно представляя себе эту плоскость, Вы оказываете влияние на физические процессы, существенно искажающее их ход?

Мысленно проводя плоскость мы переходим к решению задачи на плоскости. Иначе зачем ее проводить?

-- Ср окт 28, 2009 12:36:43 --

Circiter в сообщении #255763 писал(а):

Если же вам нужны новые "теоремы Пифагора" в евклидовых пространствах больших размерностей, то нужно будет рассматривать обобщения треугольников, i.e. симплексы. Например, для трехмерного пространства можно изучать свойства тетраэдра, т.е. трехмерного треугольника.

Будете ли вы использовать чтото выходящие за рамки теоремы пифагора при изучении этих свойств?

-- Ср окт 28, 2009 12:38:02 --

master в сообщении #255857 писал(а):

А какую систему координат можно использовать?

Тоесть?

-- Ср окт 28, 2009 12:41:23 --

Circiter в сообщении #255763 писал(а):

Ну представьте себе площадь поверхности шара, к примеру.

Точно, нужно подумать.

[master]

STilda в сообщении #255858 писал(а):

Тоесть?

Вы прямоугольную используете?

[STilda]

master в сообщении #255860 писал(а):

Вы прямоугольную используете?

Да, а какие мысли?

[ha]

Просто в аксиомах стереометрии есть аксиома, что на любой плоскости выполняются все аксиомы планиметрии (а среди аксиом планиметрии есть аксиома о том, что на любой прямой выполняются аксиомы действительных чисел). Если вам не нравится эта аксиома, можете строить геометрию через координаты, тогда она будет теоремой.

[master]

STilda в сообщении #255864 писал(а):

Да, а какие мысли?

В прямоугольной все сводиться к пифагору, надеюсь не надо объяснять почему.