Дифуры

[Trius]

1.Проинтегрировать уравнение методом Лагранжа
$y'+(1+x^2)y=\frac{1}{1+x^6}$
Имеет ли уравнение ограниченные на $\mathbb R$ решения?
2. Доказать, что уравнение имеет единственное ограниченное решение и найти его
$y'-(x^2+2x+3)y=\arcctg x$
3. Найти кол-во $\pi$-периодических решений уравнения
$y'+2y\sin2x =e^{-\cos2x}$

[Someone]

А в чём проблемы?

Кстати, синус, косинус, арккотангенс записываются как \sin, \cos, \arcctg: $\sin x,\ \cos x,\ \arcctg x$.

[Trius]

Someone в сообщении #255690 писал(а):

А в чём проблемы?

Кстати, синус, косинус, арккотангенс записываются как \sin, \cos, \arcctg: $\sin x,\ \cos x,\ \arcctg x$.

В том, что мы не разбирали подобные задания на парах

[Someone]

Что, не решали линейные дифференциальные уравнения первого порядка?

А в чём метод Лагранжа состоит?

[Trius]

Someone в сообщении #255694 писал(а):

Что, не решали линейные дифференциальные уравнения первого порядка?

А в чём метод Лагранжа состоит?

Конечно решали, но не исследовали решения на ограниченность и периодичность.
В решении соответствующего линейного однородного и вариации постоянной

[RIP]

Тогда начните с того, что выпишите здесь общие решения уравнений (для начала достаточно готовых ответов, без подробных решений), а дальше будем посмотреть.

[Trius]

1.$\int \frac{exp(x+x^3/3)}{1+x^6} dx* exp(-x-x^3/3)$

[RIP]

Лучше выразить через определённый интеграл
$\Bigl(\int_{x_0}^x\frac{\exp(t+t^3/3)dt}{1+t^6}+C\Bigr)\exp(-x-x^3/3)$.
Понятно, что любое решение стремится к нулю при $x\to+\infty$ (правило Лопиталя, например). Осталось разобраться с $-\infty$. Чему должно быть равно $C$ (в зависимости от $x_0$)?