Область сходимости функционального ряда

[Voodoo Man]

Добрый вечер, возникла проблема с исследованием области сходимости следующего функционального ряда:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x \cdot (x-1)\cdot \ldots \cdot (x-(n-1))}{n^p \cdot n!} $$

В точках из $\mathbb{N} \cup \lbrace 0 \rbrace$ сходимость очевидна.
Применяю признак Гаусса, получаю:

$$ \frac{\vert a_n \vert}{\vert a_{n+1} \vert} = 1 + \frac{p+1+x}{n} + \frac{\theta _{n}}{n^2} $$

При $p+1+x>1$ ряд сходится абсолютно; при $p+1+x<0$ модуль общего члена монотонно возрастает, следовательно общий член ряда не стремится к нулю. При $0<p+1+x \leq 1$ общий член монотонно убывает; если показать, что общий член при таком соотношении параметров стремится к нулю, то ряд будет сходиться условно как ряд Лейбница, но как раз с этим и возникает проблема.

Также, если представлять общий член в виде произведения $a_n = \frac{1}{n^p}$ и $b_n= \frac{x \cdot (x-1)\cdot \ldots \cdot (x-(n-1))}{n!}$, то можно применить признаки Дирихле или Абеля: при $0<x+1 \leq 1$ второй ряд сходится как ряд Лейбница, при $\forall p \geq 0$ первый ряд монотонно убывает к нулю.
С остальной частью исследования у меня возникают проблемы.

[Voodoo Man]

(Дубль)

Добрый вечер, возникла проблема с исследованием области сходимости следующего функционального ряда:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x \cdot (x-1)\cdot \ldots \cdot (x-(n-1))}{n^p \cdot n!} $$

В точках из $\mathbb{N} \cup \lbrace 0 \rbrace$ сходимость очевидна.
Применяю признак Гаусса, получаю:

$$ \frac{\vert a_n \vert}{\vert a_{n+1} \vert} = 1 + \frac{p+1+x}{n} + \frac{\theta _{n}}{n^2} $$

При $p+1+x>1$ ряд сходится абсолютно; при $p+1+x<0$ модуль общего члена монотонно возрастает, следовательно общий член ряда не стремится к нулю. При $0<p+1+x \leq 1$ общий член монотонно убывает; если показать, что общий член при таком соотношении параметров стремится к нулю, то ряд будет сходиться условно как ряд Лейбница, но как раз с этим и возникает проблема.

Также, если представлять общий член в виде произведения $a_n = \frac{1}{n^p}$ и $b_n= \frac{x \cdot (x-1)\cdot \ldots \cdot (x-(n-1))}{n!}$, то можно применить признаки Дирихле или Абеля: при $0<x+1 \leq 1$ второй ряд сходится как ряд Лейбница, при $\forall p > 0$ общий член первого ряда монотонно убывает к нулю.
С остальной частью исследования у меня возникают проблемы.

[Jnrty]

Jnrty:

Voodoo Man, предупреждение за дублирование тем и сообщений. Пока - неофициально. Темы объединяю.

[ewert]

Voodoo Man в сообщении #255585 писал(а):

В точках из $\mathbb{N} \cup \lbrace 0 \rbrace$ сходимость очевидна.
Применяю признак Гаусса, получаю:

Ничего Вы по Даламберу (которого зачем-то обзываете Гауссом, но это не важно) заведомо не получите. Поскольку члены ряда убывают заведомо медленно -- степенным образом, и тот признак заведомо ничего не даст. Бог по фамилии Стирлинг в помощь (ну или кустарщиной какой тоже можно воспользоваться, ряд-то ведь знакочередующийся).

[RIP]

ewert в сообщении #255636 писал(а):

Ничего Вы по Даламберу (которого зачем-то обзываете Гауссом, но это не важно) заведомо не получите. Поскольку члены ряда убывают заведомо медленно -- степенным образом, и тот признак заведомо ничего не даст.

Вы не правы, он пользуется не Даламбером, а именно Гауссом, который как раз заточен под такое медленное убывание (он уточняет признак Раабе).

-- Вт 27.10.2009 21:15:34 --

Voodoo Man в сообщении #255585 писал(а):

При $0<p+1+x \leq 1$ общий член монотонно убывает; если показать, что общий член при таком соотношении параметров стремится к нулю, то ряд будет сходиться условно как ряд Лейбница, но как раз с этим и возникает проблема.

А Вы распишите $|a_n|=|a_1|\prod_{k=1}^{n-1}\frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}$ и докажите, что соответствующее бесконечное произведение расходится к нулю (в случае $x+p+1=0$ так же можно доказать, что $a_n$ не стремятся к нулю (при $x\notin\mathbb N_0$)).

[Voodoo Man]

RIP, спасибо за совет! Правда, я совсем не имею практики в обращении с бесконечными произведениями (в программе этого семестра их тоже не было), но попробую рассмотреть такой вариант

[ewert]

Да какая разница. Гамма-функция вверху -- гамма-функия внизу, их отношение известно как себя ведёт...

Ну или попросту исследовать общий член на убывание (учитывая знакочередование).

[RIP]

Voodoo Man
Если у Вас не было произведений, то даю (очевидную, но тем не менее) подсказку: прологарифмируйте.

ewert
У людей даже бесконечных произведений не было, а Вы им про гамма-функцию... Хотя, если честно, не помню, кто из них первичен.

[Voodoo Man]

Большое спасибо за оказанную помощь! Извините, что не смог отблагодарить вовремя...