Двойные и тройные интегралы

[integral2009]

В правильном ли направлении двигаюсь, заранее благодарен
Некоторые задачи как-то решил)
2) Вычислить
$\iint\limits_{D}(12xy+9x^2y^2)dxdy$
$D: x=1, y=\sqrt{x}, y=-x^2$
Вот рисунок

Самое большое сомнение вызывает переход из 3 строчки в 4
$\iint\limits_{D}(12xy+9x^2y^2)dxdy=\int\limits_{-1}^{0}dy\int\limits_{\sqrt{-y^}}}^{1}(12xy+9x^2y^2)dx + \int\limits_{0}^{1}dy\int\limits_{y^2}^{1}(12xy+9x^2y^2)dx=$
$={\int\limits_{-1}^{0}dy(6x^2y+3x^3y^2)|^{1}_{\sqrt{-y}} + $\int\limits_{0}^{1}dy(6x^2y+3x^3y^2)|^{1}_{y^2}=$
$={\int\limits_{-1}^{0}(-6y^2+3(-y)^{\frac{3}{2}}y^2)dy+\int\limits_{0}^{1}(6y^5+3y^7)dy=$
$={\int\limits_{-1}^{0}(-6y^2+3(-y)^{\frac{7}{2}})dy+\int\limits_{0}^{1}(6y^5+3y^7)dy=$
$=\frac{6}{3}-\frac{2*3}{7}+1+\frac{3}{8}=\frac{8}{7}+\frac{11}{8}=\frac{141}{56}$
3) Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, $\mu$ - поверхностная плотность.Найти массу пластинки
D: $x^2+y^2=1$; $x^2+y^2=9$; $x=0$; $y=0$; ($x\geqslant0$; $y\leqslant0$);

$M=\iint\limits_{D}{\mu}dxdy=\iint\limits_{D}\frac{x-y}{x^2+y^2}dxdy=$
Переходим к полярным координатам
$\left\{ \begin{array}{l} x = rcos{\phi},\\ y=rsin{\phi}, \end{array} \right.$
$=\int\limits_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}d{\phi}\int\limits_{1}^{3}(cos{\phi}-sin{\phi})dr=$
$=2\int\limits_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}(cos{\phi}-sin{\phi})d{\phi}=2+2=4$
4) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
a) $y=\frac{3}{2}\sqrt{x}$ $y=\frac{3}{2x}$; $x=9$
рисунок

точка переcечения $(1;1.5)$
$S=\iint\limits_{D}dxdy=\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{\frac{3}{2}\sqrt{x}}dy+\int\limits_{1}^{9}dx\int\limits_{0}^{\frac{3}{2x}}dy=$
$=\int\limits_{0}^{1}\frac{3}{2}\sqrt{x}dx+\int\limits_{1}^{9}\frac{3}{2x}dx=$
$=1+\frac{3}{2}ln9$
б) $(x-1)^2+y^2=1$
$(x-2)^2+y^2=4$
$y=\frac{x}{3}$
$y=\sqrt{3}x$
Рисунок

Правильно ли составлен интеграл?)
[math]$S=\int\limits_{0}^{1.2}dy\int\limits^{3y}_{\frac{1}{\sqrt{3}}y}dy+\int\limits_{1.2}^{2}dy\int\limits^{2-\sqrt{4-y^2}}_{\frac{1}{\sqrt{3}}y}dx=\int\limits_{1.2}^{2}dy\int\limits^{2+\sqrt{4-y^2}}_{2}dx$
Верхние пределы взяты из того, что
$(x-2)^2+y^2=4$
$x-2 = {\pm}\sqrt{4-y^2}$
$x =2 {\pm}\sqrt{4-y^2}$
4) Этот пример совсем не получается...(((
$\iint\limits_{D}y^2e^{-\frac{xy}{8}}dxdy$
D:$x=0$; $y=2$; $y=x/2$
Рисунок

$\iint\limits_{D}y^2e^{-\frac{xy}{8}}dxdy=\int\limits_{0}^{4}dx\int\limits_{x/2}^{2}y^2e^{-\frac{xy}{8}}dy=$$=\int\limits_{0}^{4}dx\int\limits_{x/2}^{2}(-\frac{8}{x})y^2d(e^{-\frac{xy}{8})$
Далее интегрирование по частям к успеху не приводит, тк появляются такие члены под интегралом, как $\frac{1}{x^2}e^{-\frac{x^2}{16}$

[_v_l]

integral2009 в сообщении #255046 писал(а):

4) Этот пример совсем не получается...(((

integral2009 в сообщении #255046 писал(а):

$\iint\limits_{D}y^2e^{-\frac{xy}{8}}dxdy=\int\limits_{0}^{4}dx\int\limits_{x/2}^{2}y^2e^{-\frac{xy}{8}}dy=$$=\int\limits_{0}^{4}dx\int\limits_{x/2}^{2}(-\frac{8}{x})y^2d(e^{-\frac{xy}{8})$

Попробуйте проинтегрировать сначала по переменной $x$.

[vvvv]

См. картинку. Это считает Mathcad. И с пределами интегрирования у Вас не все хорошо.

[integral2009]

_v_l в сообщении #255052 писал(а):

integral2009 в сообщении #255046 писал(а):

4) Этот пример совсем не получается...(((

integral2009 в сообщении #255046 писал(а):

$\iint\limits_{D}y^2e^{-\frac{xy}{8}}dxdy=\int\limits_{0}^{4}dx\int\limits_{x/2}^{2}y^2e^{-\frac{xy}{8}}dy=$$=\int\limits_{0}^{4}dx\int\limits_{x/2}^{2}(-\frac{8}{x})y^2d(e^{-\frac{xy}{8})$

Попробуйте проинтегрировать сначала по переменной $x$.

Да, спасибо, отличная идея=)
$\iint\limits_{D}y^2e^{-\frac{xy}{8}}dxdy=\int\limits_{0}^{2}y^2dy\int\limits_{0}^{2y}e^{-\frac{xy}{8}}dx=$$=-\int\limits_{0}^{2}\frac{8}{y}y^2e^{-\frac{xy}{8}}dy|\limits_{0}^{2y}=$$=8\int\limits_{0}^{2}(1-e^{-\frac{y^2}{4}})ydy=$$=8\int\limits_{0}^{2}ydy+16\int\limits_{0}^{2}e^{-\frac{y^2}{4}}d(-\frac{y^2}{4})$$=4y^2|^2_0+16\int\limits_{0}^{2}e^{-\frac{y^2}{4}}d(-\frac{y^2}{4})$$=16+16e^{-\frac{y^2}{4}}|^2_0=$$=16+16e^{-1}-16=\frac{16}{e}$
Похоже на правду? Есть ли ошибки в арифметике?=)
о_0 Все правильно)

-- Пн окт 26, 2009 20:34:12 --

Спасибо, vvvv и _v_l

-- Пн окт 26, 2009 22:50:05 --

vvvv
Я по поводу 4а
А почему в вашем интеграле $1<x<9$, где область $0<x<1$?!!!

[vvvv]

У Вас же в условии х=9. Кривые пересекаются в точке, где х=1, вот и получается - от 1 до 9

[integral2009]

Дело в том, что там 2 области таких))))

[vvvv]

В условии задачи говорится - между кривыми и х=9. Если брать левую область и х=0 , то там ветвь гиперболы уходит в бесконечность и
площадь будет равна бесконечности - теряется смысл задачи

[_v_l]

integral2009 в сообщении #255046 писал(а):

2) Вычислить

Проверять ваши действия лень, попробуйте интегрировать сначала по $y$, потом по $x$, будет один интеграл. Ответ показал vvvv.

(MathCAD в топку WolframAlpha
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate+x+from+0+to+1+Integrate+y+from+-x^2+to+Sqrt[x]+%2812*x*y%2B9x^2*y^2%29[/url])
(Ссылка выглядет ужасно, так и надо!)

integral2009 в сообщении #255046 писал(а):

3) Пластинка $\mathscr{D}$ задана ограничивающими ее кривыми ...

Кстати, не задано в условиях чему равно $\mu$. Здесь явные ошибки: рассуждаете в правильном направлении, действуете однако неверно: чему равен якобиан перехода в полярную систему координат, чему равно $\mu$ в ПСК, как изменяется угол $\phi$ (см. условия).

integral2009 в сообщении #255046 писал(а):

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
a) $y=\frac{3}{2}\sqrt{x}$ $y=\frac{3}{2x}$; $x=9$

Рисунок правильный, однако вы неправильно выбрали область, площадь которой вам нужно найти. В условиях не сказано, что $x\geqslant0$ и $y\geqslant0$. Вы их сами применили и выбрали область.

integral2009 в сообщении #255046 писал(а):

б)
...
Правильно ли составлен интеграл?)

Посмотрите свой первый пример: почему вы разбили его на два интеграла, подумайте; посмотрите ещё раз на свой рисунок и запишите. По вашему рисунку (не проверял его) получается три интеграла.

[integral2009]

_v_l, спасибо))) Разобрался во всем=) Только в 3 я якобиан учел=) С остальным согласен)