Разбиения на слагаемые

[paul_simon]

Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, как можно найти асимптотику для количества неупорядоченных разбиений натурального числа $N$ на слагаемые, каждое из которых не превосходит $N/100$?

Заранее спасибо!

[gris]

Разбить $N$ на сумму единиц, а потом из потихоньку объединять.

ЗЫ Пардон, что встрял не по делу, просто хотелось пошевелить тему. И - опа - сразу её учуяли не мне чета кто :ложнскромно:

[RIP]

Воспользоваться асимптотикой для количества $p(N)$ разбиений без ограничений на слагаемые, простейшая форма:
$p(N)\sim\frac1{4N\sqrt3}\exp\bigl(\pi\sqrt{2N/3}\bigr).$
Из этой же асимптотики следует, что количество представлений, где хотя бы одно слагаемое больше $N/100$, ничтожно мало, поэтому и в Вашей задаче ответ такой же.

[Хорхе]

Честно говоря, не понял, что имеет в виду gris, но я бы рассуждал так: количество $q_N$ таких разбиений равно количеству $p_N$ всех минус количество $r_N$ тех, у которых наибольший член превышает $N/100$. Последних не больше, чем $N p_{99N/100}$, и согласно формуле Харди-Рамануджана для асимптотики $P_N$, $Np_{99N/100}=o(P_N)$, $N\to \infty$. Таким образом, $q_N\sim p_N$ при $N\to\infty$ (в частности, имеет место аналогичная асимптотика).

upd Опередили

[paul_simon]

Спасибо, разобрался:)