Линейная Алгебра, задача (4.25)

[ИС]

В пространстве $M^n$ многочеленов с действительными коэффициентами скалярное произведение многочелнов
$x(t) = \alpha_0 + \alpha_1\cdot t + ... + \alpha_n t$ и $ y(t) = \beta_0 + \beta_1\cdot t + ... + \beta_n \cdot t$
(cтаршие коэффициенты многочленов могут быть равны нулю ) задано формулой
$(x,y) = \sum\limits_{i=0}^{n}\alpha_i\beta_i$
1) Найдите ортогональное дополнение до $M^n$ подпространства всех четных многочленов.
2) Найдите ортогональное дополнение до $M^n$ подпространства всех многочленов, удовлетворяющих условию x(1) = 0.

в 1) не знаю что такое "четный многочлен"
в 2) не могу додуматься как записать базис многочленов имеющих корень 1 =(

[Xaositect]

ИС в сообщении #254702 писал(а):

в 1) не знаю что такое "четный многочлен"

Многочлен, являющийся четной функцией

ИС в сообщении #254702 писал(а):

в 2) не могу додуматься как записать базис многочленов имеющих корень 1 =(

Это подпространство задается одним линейным уравнением: $f(1) = 0$, найдите его ФСР

[ИС]

Аха ) пасиб )
А что такое ФСР? ))))

[meduza]

Фундаментальная система решений

[ИС]

если базисными элементами пространства $M^n$ назвать $e_i = x^i$, тогда многочлен $f(t) = \sum\limits_{i=0}^{n}\alpha_i\cdot x^i$ можно представить как элемент с координатами {$\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n $}
Тогда все четные многочлены это линейная оболочка, натянутая на элементы
$e_0$, $e_2$, и тд., а ортогональное дополнение до $M^n$ будет $L(e_1, e_3, ...)$
Кажется так...

[ewert]

Это правда, а проще говоря -- все нечётные многочлены.

ИС в сообщении #254702 писал(а):

в 2) не могу додуматься как записать базис многочленов имеющих корень 1 =(

Вынесите $(x-1)$ за скобки, т.е. запишите произвольный многочлен такого вида как $(x-1)(\gamma_0+\gamma_1x+\ldots+\gamma_{n-1}x^{n-1})$. Какой набор многочленов (собственно, двучленов) будет для таких выражений откровенно базисным?... и что можно сказать про коэффициенты многочлена, если он ортогонален каждому из этих базисных?...

[ИС]

2)
у меня получилось, что ортогональным дополнением будет линейная оболочка элемента, все координаты которого равны единицы. Это правильно? )

-- Вс окт 25, 2009 14:39:42 --

Ну или многочлены все коэффициенты которого равны между собой...

[ewert]

Правильно.

[ИС]

Ураа!! ))
Пасиб огромное всем кто помогал !