правильность записи

[Spook]

Корректны ли следующие пределы:
$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin{x}}$,$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin{\frac1x}$
или обязательно нужно так:
$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin|x|}$,$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin{|\frac1x|}$
?

[ewert]

Второй -- некорректен точно, остальные (даже и первый) -- приемлемы.

[Spook]

А мне казалось, что они оба одновременно либо корректы, либо - нет. Ведь под корректностью имеется в виду форма записи, а не существование?

-- Сб окт 24, 2009 20:15:51 --

Я имею в виду, что второй предел во втором варианте записан верно, но не существует.

[Alexey1]

ewert в сообщении #254534 писал(а):

Второй -- некорректен точно, остальные (даже и первый) -- приемлемы.

Скажите а почему второй некорректен а первый корректен?

[gris]

А что такое корректность предела?

[Spook]

gris, я имел в виду, что можно ли так записывать.

[Someone]

Spook в сообщении #254531 писал(а):

Корректны ли следующие пределы:
$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin{x}}$,$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin{\frac1x}$
или обязательно нужно так:
$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin|x|}$,$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin{|\frac1x|}$
?

Сформулируйте точно определение предела, которым Вы пользуетесь, тогда можно будет сказать о корректности задания. Определение можно сформулировать так, что корректны будут все четыре, или так, что останутся только два последних.

gris в сообщении #254543 писал(а):

А что такое корректность предела?

Видимо, имеется в виду, что в двух первых пределах не существует такой проколотой окрестности предельной точки, чтобы функция была определена во всей этой окрестности.

[gris]

Да, по Зоричу так можно писать, если функция определена в проколотой окрестности. Иначе надо упоминать множество, по которому берётся предел. В данном случае было бы достаточно сказать, что предел правый.
Хотя кое-кто по умолчанию определяет предел по пересечению окрестности и области определения функции.

[Spook]

Someone в сообщении #254549 писал(а):

Сформулируйте точно определение предела, которым Вы пользуетесь, тогда можно будет сказать о корректности задания. Определение можно сформулировать так, что корректны будут все четыре, или так, что останутся только два последних.

Стандартное школьное определение($\forall\varepsilon>0\exists{N}\in\mathbb{N}:(\forall{n>N,n\in\mathbb{N}})(|f_n(x)-A|<\varepsilon)$). Судя по нему, оба первых варианта некорректы, так ведь?

Someone в сообщении #254549 писал(а):

Видимо, имеется в виду, что в двух первых пределах не существует такой проколотой окрестности предельной точки, чтобы функция была определена во всей этой окрестности.

Да, имеено так.

-- Сб окт 24, 2009 20:34:16 --

gris в сообщении #254553 писал(а):

В данном случае было бы достаточно сказать, что предел правый.

Кстати, не факт. Ведь в первом варианте во втором пределе синус может принять при положительном аргументе отрицательные значения.

[gris]

Упс. Я чего то думал, что под модулем синусы. Тогда нужно третью пару.
$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{|\sin x|}$,$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{|\sin\frac1x|}$

Кстати, стандартные определения (их два) начинаются со слов - пусть функция определена ...

[Someone]

Spook в сообщении #254554 писал(а):

Стандартное школьное определение($\forall\varepsilon>0\exists{N}\in\mathbb{N}:\forall{n>N,n\in\mathbb{N}}|f_n(x)-A|<\varepsilon.$)

По-моему, Вы тут смешали в кучу определения предела функции и предела последовательности. Откуда взялось $n$?

gris в сообщении #254560 писал(а):

Я чего то думал, что под модулем синусы. Тогда нужно третью пару.

Ну, $\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin|x|}$ можно и оставить. А вот на четвёртый я тоже, оказывается, невнимательно посмотрел. Там действительно должно быть $\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{|\sin\frac1x|}$. Или определять предел, явно учитывая область определения.

[Spook]

Someone в сообщении #254563 писал(а):

Spook в сообщении #254554 писал(а):

Стандартное школьное определение($\forall\varepsilon>0\exists{N}\in\mathbb{N}:\forall{n>N,n\in\mathbb{N}}|f_n(x)-A|<\varepsilon.$)

По-моему, Вы тут смешали в кучу определения предела функции и предела последовательности. Откуда взялось $n$?

Ошибся, там индекс правее должен быть:
$\forall\varepsilon>0\exists{N}\in\mathbb{N}:(\forall{n>N,n\in\mathbb{N}})(|f(x_n)-A|<\varepsilon)$

[Someone]

Нету в определении предела функции по Коши никакого $n\in\mathbb N$. Или Вы имеете в виду определение по Гейне? Тогда тоже неправильно.

[ewert]

А по-моему -- всё это ловля блох, и не более того.

Во втором случае понятие предела не определено попросту потому, что подкоренное выражение знаконеопределённо. В первом -- оно определено потому, что все ежи по умолчанию подразумевают положительный сдвиг.

Как-то всё это странно.