Производные

[Jilya]

Найти производные $\frac {dy} {dx}$ данных функций:
a)$y=ln^2(arcsin\sqrt{x})$
b)$y=(2e^x+cos3x)^4$
c)$xy^2+x^2y+xy=1$
Подскажите пожалуйста!!!
a)$y=ln^2(arcsin\sqrt{x})$=$(ln^2(arcsin\sqrt{x}))^'$=$(\frac {1} {arcsin\sqrt{x}})^2*(arcsin\sqrt{x})^'$=$(\frac {1} {arcsin\sqrt{x}})^2*\frac {1} {\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}}(\sqrt{x})^'$=$(\frac {1} {arcsin\sqrt{x}})^2*\frac {1} {\sqrt{1-x}}*\frac {1} {2\sqrt{x}}=$
b)$y=(2e^x+cos3x)^4$=$4(2e^x+cos3x)^3*(2e^x+cos3x)^'$=$4(2e^x+cos3x)^3*(2(e^x)^'}+(cos3x)^'})$=$4(2e^x+cos3x)^3*(2e^x*(x)^'}-sin3x*(3x)^'})$=$4(2e^x+cos3x)^3*(2e^x-sin3x*3)= $

[ewert]

а) Вы перепутали: там квадрат над логарифмом, а не над его аргументом. Ну и ещё кое-что потеряно.

b) В принципе, правильно, только жаль, что Вы не знаете производную косинуса.

c) "Производная неявно заданной функции" -- это стандартная тема.

[gris]

в а) логарифм куда-то подевался, в б) производная косинуса- это минус синус.
А так правильные, но немного затянутые переходы. Экспоненту не надо как сложную функцию рассматривать.
с) - неявная функция. Продифференцируйте равенство по $x$, считая $y$ не константой, а функцией.
Например:
$y=(2e^x+\cos3x)^4$

$y'=4(2e^x+\cos3x)^3\cdot (2e^x+cos3x)'=4(2e^x+\cos3x)^3\cdot (2(e^x)'+(\cos3x)')=$

$=4(2e^x+\cos3x)^3\cdot (2e^x-3\sin3x)$

В таком виде можно и оставить.

[Jilya]

c)$xy^2+x^2y+xy=1$
$y^2+2xy+y=0$ Так?

[ewert]

Не так, конечно. И просто не так, и штрихи-то -- где?...

[gris]

Нет. Давайте начнём
$(xy^2+x^2y+xy)'=(xy^2)'+(x^2y)'+(xy)'=$
$=(x)'y^2+x(y^2)'+(x^2)'y+x^2(y)'+(x)'y+x(y)'=...$
То есть по всем правилам дифференцированиz. И повнимательнее с нахождением $(y^2)'$. Это сложная функция!

[Jilya]

в первом задании
$y=ln^2(arcsin\sqrt{x})$=$(ln^2(arcsin\sqrt{x}))^'$=$2ln(arcsin\sqrt{x})*\frac {1} {arcsin\sqrt{x}}*(arcsin\sqrt{x})^'$=$2ln(arcsin\sqrt{x})*\frac {1} {arcsin\sqrt{x}}*\frac {1} {\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}}(\sqrt{x})^'$=$2ln(arcsin\sqrt{x})*\frac {1} {arcsin\sqrt{x}}*\frac {1} {\sqrt{1-x}}*\frac {1} {2\sqrt{x}}$ Так и оставлять?

[ewert]

Да. Только звёздочки всё же лучше заменить на \cdot.

[gris]

Правильно. Двоечки можно сократить, можно и оставить, чтобы виден был путь решения. Хотел посоветовать тоже по оформлению, например, названия функций начинать с \, но потом подумал, что сдавать-то не ТеХе надо будет...

[Jilya]

В третьем: $y^2+2xy+2xy+x^2+y+x=$

[gris]

Я же говорил, что $y$ - функция. $(y)')=y'$, а $(y^2)'=2y\cdot (y)'$
$y'$ так и останется. Не будет единицей. Мы же по $x$ дифференцируем, а не по $y$

[Jilya]

$y^2+2xy*(y)^'}+2y+x^2y+x^2(y)^'}+y+x(y)^'$

[gris]

Ну почти да. Только скобки не нужны. И это равно производной от единицы, то есть нулю. Отсюда можно выразить $y'$ через $x$ и $y$

$(x)'y^2+x(y^2)'+(x^2)'y+x^2(y)'+(x)'y+x(y)'=y^2+2xyy'+2xy+x^2y'+y+xy'=0$

[Jilya]

Это все решение? В задании указано $dy/dx$ это как оформить?

[gris]

$y^2+2xyy'+2xy+x^2y'+y+xy'=0$
$y'(2xy+x^2+x)=-(y^2+2xy+y)$

$\dfrac{dy}{dx}=y'=...$

можно попробовать исходное равенство применить, но тут ничего вроде бы не упрощается.