Равномерная сходимость ряда

[valiko]

Доброго времени суток!
Прошу помочь решить следующую задачу:
Исследовать ряд на абсолютную, условную и равномерную сходимость на множестве $x\in[0, +\infty)$:

$$\sum_{n=1}^\infty \sin{\frac{\sqrt{x}}{1 + n^2x}} (*)$$

Ряд знакоположительный. Пишем предел по Раабе:

$$\frac{a_n}{a_{n+1}} = n(\frac{\sin{\frac{\sqrt{x}}{1 + n^2x}}}{\sin{\frac{\sqrt{x}}{1 + (n+1)^2x}}} - 1) = 2n\frac{\sin{\frac{\sqrt{x}(2nx+x)}{2(1+n^2x)(1+(n+1)^2x)}}\cos{\frac{\sqrt{x}(2+n^2x+(n+1)^2x)}{2(1+n^2x)(1+(n+1)^2x)}}}{\sin{\frac{\sqrt{x}}{1 + (n+1)^2x}}} \sim \frac{\frac{2nx(2n+1)\sqrt{x}}{2(1+n^2x)(1+(n+1)^2x)}}{\frac{\sqrt{x}}{1+(n+1)^2x}} = \frac{nx(2n+1)}{1+n^2x} \longrightarrow 2$$

Следовательно, ряд сходится абсолютно.
На равномерной сходимости я завис. Пытался доказать по теореме Вейерштрасса: синус достигает максимального значения в точках $\frac{1}{n^2}$, т.е. $(*)\le \sum_{n=1}^\infty \sin{\frac{1}{2n}}$, но этот ряд не сходится. По критерию Коши тоже не получается. Подозреваю, что этот ряд вообще равномерно не сходится, но возникают трудности с оценкой.

[RIP]

Доказывайте через критерий Коши. Возьмите $x=N^{-2}$ и оцените снизу сумму по $N\le n\le2N$, например.

[valiko]

RIP, спасибо!