Применение урав Лагранжа 2-ого рода к мех. системе ?!

[Sintanial]

Ребят помогите пожалуйста с задачкой. Яблонский . Задание д21, вариант 14
Массы тел $m_1=2m , m_2=m , m_3=m , m_4=2m$


Мне нужно найти обобщенные координаты применяя уравнение Лагранжа второго рода.
Затруднения у меня появились в нахождении кинетической энергии
$T=T_1+T_2+T_3+T_4$
1)$T_1=\frac {m_1V_{1}^{2}}{2}$
2)$T_3=\frac {m_3V_{3}^{2}}{2} + \frac{I_3\omega_{3}^{2}}{2}$ - По Теореме Кёнинга
Найдем $V_3,\omega_3$:
$V_A=V_3=1.7r\omega_4=1.7r\dot\varphi$
$\omega_3=\frac {V_3}{z}=\frac {V_1}{r-z}$ => $z=\frac {1.7r^2\dot\varphi}{1.7r\ddot\varphi+\dot{x}}$-растояние от точки $O$ до мгновенного центра скоростей - точка $C$;=>$\omega_3=\frac {1.7r\dot\varphi+\dot{x}}{r}$; $I_3=\frac {m_{3}r^2}{2}$;
=>$T_3=\frac {m_{3}(1.7r\dot\varphi)^{2}}{2} + \frac{m_{3}r^2(1.7r\dot\varphi+\dot{x})^{2}}{4r^2}$
3)$T_2=\frac {m_2V_2^2}{2}$
Найдем $V_2$;
$V_2=\omega_3(r+z)$ - то есть угловая скорость на расстояние до МЦС.=> $V_2=(\frac {1.7r\dot\varphi+\dot{x}}{r})(r+\frac {1.7r^2\dot\varphi}{1.7r\dot\varphi+\dot{x}})=1.7r\dot\varphi+\dot{x}+1.7r \dot\varphi=3.4r\dot\varphi+\dot{x}$
Тогда $T_2$ примет вид :
$T_2=\frac {m_2(3.4r\dot\varphi+\dot{x})^2}{2}$
$T_4=\frac {I_4\omega_4^2}{2}$ где $\omega_4=\dot\varphi$, $I_4=\frac {m_4(1.7r)^2}{2}$=>
$T_4=\frac {m_4(1.7r)^2(\dot\varphi)^2}{4}$
Ребят пожалуйста ткните пальцем где ошибка. Сдал первый раз, сказали что кинетическая энергия не верна. Не могу найти ошибку

[whiterussian]

А $T_4$ куда делась?

[Sintanial]

Ой, щас напишу. =). Да и она там очень легкая, наврят ли я в ней ошибся

.... Все $T_4$ дописал =)

-- Сб окт 24, 2009 00:39:46 --

Ребят ну так что, кто нить сможет подсказать где ошибка. А то мне завтра сдавать уже, а я даже не знаю где искать. Трижды проверял...... главные сомнения у меня кстати это в том как я определил, где находится мцс( я определил опираясь на то что мцс находится как перпендикуляр к векторам скорость, у меня перпендикуляры находится на одной линии, поэтому что бы найти мцс, необходимо соединить концы векторов линией и посмотреть где она пересекает общий перпендикуляр, но чисто из человеческих соображений мне почему то не очень верится что скорость точки $C$ будет равнятся нулю)- это первое. А второе, странно получается почему $V_1$ не равняется $V_3$ ведь, нить на которой подвешены грузики, абсолютно твердые и нить по колесу вращается без проскальзывания?....хотя с другой стороны, если бы они были бы равны, то значит мцс находится в центре колеса 3, но если мцс в центре то там скорость равна 0, чего быть не может так как в центре скорость диска 3 существует, и она у меня показана на рисунке, она равняется $1.7r\dot\varphi$. И вот не понятно что к чему. Можете разъяснить =).

[Sintanial]

Блин ребят, подскажите кто нибудь. Хотя бы, правильно ли я определил где находится мцс ?

[whiterussian]

Да вроде правильно.... Сейчас сяду и попробую разобраться.....

[Sintanial]

спс =). Жду с нетерпением =)

[whiterussian]

прошу великодушно простить, но я не вижу ошибок.... Может глаз замылился? А может вам просто надо массы подставить и все посокращать?

[Sintanial]

Да это то понятно про массы. Я это уже проделывал. Однако в чем то была ошибка...... хотя может у преподавателя на листочке ответ не верный. Такое уже бывало. Ну тогда спасибо за проверку. В понедельник пойду доказывать что я все верно нашел =)

[whiterussian]

Ой, только не бейте больно, если я ошиблась....

[Антипка]

Ошибка в $T_3$ Кинетическую энергию тела 3 можно найти как сумму кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения относительно центра масс тела 3, а вы зачем-то ищете для него мгновенный центр вращения. Либо эту энергию можно найти как кинетическую энергию только вращательного движения относительно мгновенной оси вращения (что, по сути, эквивалентно первому подходу, т.к. момент инерции этого тела отн. мгновенной оси вращения вы будете считать по теореме Штейнера и там вылезет та же пара слагаемых). Вы же суммировали энергию поступательного движения и вращения относительно мгновенной оси - именно в этом заключается ваша ошибка.

PS. надеюсь, не слишком поздно?

[Sintanial]

Честно я вас немного не понял. Я вроде как и делал относительно центра масс. Я просто нашел Мцс, для того что бы определить скорости в теле 3. Как я понимаю, так как тело 3 абсолютно твердое, то центр масс будет находится по середине, то есть в точке О, относительно которой по идеи я и делал =)

...... А про теорему Штейнера не слыхал =), и про только вращательное тоже не понял.... как кинетическая энергия может состоять только из вращательного движения, если тело три совершает сложное движение тобишь как вы сказали поступательное + вращательное, а вы утверждаете что энерегия будет только из вращательного относительно мгновенной оси вращения( кстати поясните что это такое МОВ.... я что то не припомню такова =) )

[Антипка]

Я просмотрел ваше сообщение по диагонали и просто не разобрался, что вы делали. Я полагал, что обобщенную координату x вы отсчитываете от тела 3 (кстати, может так и надо было делать, чтоб ответ был "как у преподавателя"?). Соответственно, выражение для $T_3$ должно было бы быть другим.

Теорема Штейнера - это формула для момента инерции тела относительно произвольной оси. В двумерном случае (плоская картинка) формулируется так: момент инерции тела относительно произвольной точки (т.е. оси, проходящей через эту точку перпендикулярно плоскости рисунка) есть сумма момента инерции этого тела относительно его центра масс (ну т.е. опять отн. оси ...) и массы тела, умноженной на квадрат расстояния между этими двумя точками (осями).

[ShMaxG]

Sintanial в сообщении #254264 писал(а):

Мне нужно найти обобщенные координаты применяя уравнение Лагранжа второго рода.

Это как? Уравнения Лагранжа записывают заранее подготавливая обобщенные координаты. Более того, на рисунке эти обобщенные координаты уже предложены.

Во-первых, $T_1$. Чему равно $V_1$ через предложенные обобщенные координаты?
Во-вторых, $\[{\omega _3}\]$ связано не с $V_3$, а с $V_1$, которая равна скорости тела 1, который равен чему? (через обобщенные координаты).
В-третьих, насчет $V_2$. Что такое МЦС? Что такое $z$? Вы слишком перемудрили с ней. На самом деле, $V_2$ и $V_1$ очень похожи.

Ну а кинетическая энергия тела 4 - единственное верное выражение.

Не спешите, начинайте по порядку согласно моим пунктам. Начинайте с $V_1$ и пишите все сюда, разберемся.

-- Ср окт 28, 2009 00:20:49 --

Я в начале помогу немного.

Нам даны 2 обобщенные координаты, а именно: $\[x\]$ и $\[\varphi \]$. Смотрите что вообще происходит. Зафиксируем $\[\varphi \]$. Тогда тело 4 зафиксируется, а тело 3 зафиксируется по высоте. Меняем $x$. Тело 3 вращается, а тела 1 и 2 совершают поступательные движения по высоте. Теперь зафиксируем $x$. Тогда тела 1,2,3 зафиксируются. Т.о. положение системы в пространстве определено однозначно через эти обобщенные координаты.

Что такое скорость тела 1? Это сумма скорости нитки, соединяющей тела 4 и 3 и скорости нитки, соединяющей тела 3 и 1. Они однозначно определяются через $\[x\]$ и $\[\varphi \]$. Дальше - Ваша очередь.

[Sintanial]

1)Ну я как понимаю $V_1=\dot x$
2)$\omega_3$ я думаю я нашел правильно ( кстати там в формуле как раз таки и присутствует $\dot x$ то бишь $V_1$)
3)Мцс-мгновенный центр скоростей. Ну для того что бы определить мцс тела 3 нужно провести к каждой скорости перпендикуляр, и мцс будет находится на их пересечении.... так как у меня перпендикуляры к скоростям тел 1, 2, 3 лежат на одной прямой, то необходимо соединить концы векторов линией и там где она пересечет "общий перпендикуляр" там и будет Мцс(однако я все таки в этом не уверен, мне кажется что он будет в точке О...). А $z$ это просто расстояние от центра до Мцс, я её так обозначил- как неизвестную. А потом нашел это расстояние через соотношение скоростей . То бишь $\omega_3=\frac {V_1}{r-z}=\frac {V_3}{z}$ ведь так ? Ну а дальше
$V_1z=V_3(r-z)$ , $V_3$ у нас известна как угловая скорость тела 4 на расстояние до мцс тела 4, а оно вроде находится в центр.

[ShMaxG]

1) $V_1$ найдена неверно. Скорость тела 1 равна сумме ее скоростей в системе отсчета, связанной с ниткой, соединяющей тела 4 и 3 (т.е. ${\dot x}$ - она же относительная скорость) и скорости самой этой нитки (т.е. $1.7r\dot \varphi $)

2) $\[{\omega _3}\]$ найдена не верно. Это абсолютная угловая скорость тела 3. Так как нитка, соединяющая тела 4 и 3 движется поступательно, то в системе отсчета, связанной с этой ниткой, угловая скорость тела 3 будет совпадать с абсолютной угловой скоростью. В системе, связанной с этой ниткой имеем дело только с вращением тела 3, причем знаем, что его крайняя точка движется со скоростью тела 1 в этой системе отсчета, т.е. $\[{\dot x}\]$.

3) Никаких МЦС рассматривать здесь не надо. Скорость $V_2$ находите аналогично как и скорость $V_1$.