два примера на пределы последовательностей

[NeBotan]

gris в сообщении #253601 писал(а):

$(1+3x^2+5x^4+\cdots)=\dfrac{1+x^2}{(1-x^2)^2}$
$2(\frac12+\frac32x^2+\frac52x^4+\cdots)=\dfrac{1+x^2}{(1-x^2)^2}$
Ничего не навеяло?

Навеяло только то, что сумма исходного ряда равна первообразной от суммы ряда производных. Но это то, что я писал выше. ответ сам получил, таблицы неопределенных интегралов знаю где посмотреть.

ЧТо-то идея с производными мне совсем непонятна
а если так попробовать?
ряд $\frac{n}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+...=1+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+...$
рассмотрим частичные суммы
$\frac{3}{8}+\frac{4}{16}=\frac{10}{16}$
$\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}=\frac{25}{32}$
$\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\frac{6}{64}=\frac{56}{64}$
видно, что при n, стремящемся к бесконечности предел частичных сумм стремится к 1.
и еще одну единицу нам дают первые два слагаемых. Так допустимо, или предел частичных сумм стремится к единице слишком сильно сказано

[ИСН]

Откуда Вы взяли эти слова: первообразная, интегрировать, и этот символ, похожий на крючок из проволоки, который сгибают, чтобы... впрочем, Вы поняли. Зачем, зачем они здесь?

[NeBotan]

ИСН в сообщении #253614 писал(а):

Откуда Вы взяли эти слова: первообразная, интегрировать, и этот символ, похожий на крючок из проволоки, который сгибают, чтобы... впрочем, Вы поняли. Зачем, зачем они здесь?

умные люди насоветовали) я никак не могу это понять, потому ищу другие пути решения. последний предложенный мною вариант имеет право называться решением или он совсем неточен?

[gris]

Посредством дифференцирования и интегрирования известных рядов при соблюдении некоторых условий можно получать новые формулы для сумм неизвестных рядов.
Одну из таких формул я и получил:

$\frac12+\frac32x^2+\frac52x^4+\cdots=\dfrac{1+x^2}{2(1-x^2)^2}$

Вам нужно подумать, что подставить в неё вместо $x$, чтобы получить в точности ряд из условия задачи.

[ИСН]

NeBotan в сообщении #253617 писал(а):

умные люди насоветовали)

Умные люди советовали брать производную. Это совсем наоборот.

[gris]

А вообще взяли бы запустили Excel, да просуммировали членов сорок ряда, чем гадать.

[NeBotan]

gris

Только щас навеяло!!!! Что-то совсем я отупел, что не додумался до этого раньше))) А насчет экселя, я в Маткаде предел давно посчитал, но не мог получить ответ «руками».

Спасибо всем огромное за то, что помогли дураку!

[ewert]

NeBotan в сообщении #253594 писал(а):

Как то так:
$\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{\infty}{x^k}\right)'= \displaystyle \left(\frac{x}{1-x}\right)'\Rightarrow S=\int \frac{x}{1-x} dx=-x-ln(1-x)$
если подставить 1/2 что-то бред получается
где я тут ошибся?

Бред не при подстановке получается, а гораздо раньше -- когда Вы зачем-то перепутали операцию дифференцирования с операцией интегрирования, а зачем -- непонятно.

(ИСН вроде как ровно то же сказал, да поди уследи за всеми ими, намёками...)