Упражнение по теории случ. процессов

[id]

Пусть на $X:=[0, 2\pi], \ t \in R$ задан случайный процесс $\xi (t, \omega) = \lambda(\omega) \cos (\zeta(\omega)t + \nu(\omega))$ такой, что $\nu$ независима от $(\zeta,\lambda)$ и распределена равномерно на $X$.
Показать, что этот процесс строго стационарен.
Может быть, еще существенно условие, что $\zeta$ неотрицательна.

Собственно, независимость $\nu$ наводила на мысль о том, что $\cos$ надо раскрыть по формуле, чтобы $\sin / \cos (\nu)$ выделялись в отдельный множитель, но что-то не вышло. Через индикатор и замену переменных в интеграле Лебега? Аналогично, не выходит.

[Юстас]

Условно(при фиксированных $\lambda, \zeta$) распределение $\cos(\nu+t\zeta)$ будет одинаковым для любого $t$, отсюда можно раскрутиться.

[id]

Юстас
Так, в этом направлении я думал немного...
Предлагается записать исходное $\cos(\nu+t\zeta)$ в виде интеграла от индикатора, $dF$ двумерный расписать как произведение $d$, получив интеграл повторный, взять его по той переменной, у которой равномерное распределение?

[Хорхе]

Так и есть. Если формализовать, определим

$$ X(t) = \lambda e^{it\zeta + \nu} = \lambda e^{it\zeta}e^{i\nu}. $$

Возьмем теперь любую измеримую ограниченную $g(x_1,\dots,x_n)$ и напишем $g(X(t_1),\dots,X(t_n)) = f(\lambda,\zeta,e^{i\nu};t_1,\dots,t_n)$. Имеем

$$ \gathered E[f(\lambda,\zeta,e^{i\nu};t_1,\dots,t_n)]=E[E[\dots|\lambda,\zeta]] = E[E[f(l,z,e^{i\nu};t_1,\dots,t_n)]\big|_{l=\lambda,z=\zeta}] \endgathered $$

благодаря независимости. Но распределение $e^{i\nu}$ такое же, как и $e^{i(\nu+az)}$. Подставляя $\nu+az$ вместо $\nu$ и проделывая обратные шаги, получим

$$E[f(\lambda,\zeta,e^{i\nu};t_1,\dots,t_n)]=E[f(\lambda,\zeta,e^{i\nu};t_1+a,\dots,t_n+a)].$$

[id]

Ага, и отсюда следует равенство функций распределения $X(\cdot)$ для разных $t$?

[Хорхе]

Возьмем $n=1$, $t_1=t'$, $a=t''-t'$, $g(x)=1_{(-\infty,y)}(x)$, так?

[id]

Вроде так, да.

Всем спасибо!