Интегрирование обобщенной функции

[Falling_Tear]

Добрый день!
Меня интересует вопрос: берется ли неопределенный интеграл от произведения функции Хевисайда на экспоненту? Нигде не встречала понятия первообразной от функции Хевисайда. Она вообще определена?
Вопрос насущный, буду благодарна, если кто-то просветит...

[ИСН]

Это не только обобщённая, но и обычная функция. Так что всё банально.

[Falling_Tear]

Банально - не банально. Можно конкретный ответ?

[AD]

Интеграл Римана.

Производная его в плохой точке не будет существовать, но это мало кого волнует (в теории обобщенных функций так вообще точек не бывает)

-- Вт окт 20, 2009 11:32:16 --

Или проблема как аналитическое выражение записать?

[ИСН]

Можно: да, берётся, как и от любой функции со всего лишь конечным числом разрывов.

[Falling_Tear]

Я говорю об аналитическом выражении для НЕОПРЕДЕЛЕННОГО интеграла. Определенный-то без проблем найти...
Поэтому еще раз спрашиваю: определена ли первообразная для функции Хевисайда?

[ИСН]

Это слово имеет не такой смысл. Определена она в любом случае, неважно, есть ли выражение.
Впрочем, оно есть.

[AD]

Falling_Tear в сообщении #253244 писал(а):

Определенный-то без проблем найти...

Если Вы можете найти все определенные интегралы, то можете найти и неопределенный.

[Falling_Tear]

Интегрируем по частям, получаем выражение:
$\int {{e^x}H(x - \xi )dx} = {e^x}H(x - \xi ) - {e^\xi }H(x - \xi )$,
что при дифференцировании даёт отличное от исходного выражение:
$\delta (x - \xi ){e^x} + H(x - \xi ){e^x} - \delta (x - \xi ){e^\xi }$
В чем причина?

[Алексей К.]

Причина, как мне кажется (несмотря на забвение теории обобщённых ф-ций) в неправильном интергировании по частям

Falling_Tear в сообщении #253276 писал(а):

Интегрируем по частям, получаем выражение:
$\int {{e^x}H(x - \xi )dx} = {e^x}H(x - \xi ) - {e^\xi }H(x - \xi )$

$$\int \underbrace{e^x}_{u'} \underbrace{H(x - \xi )}_{v}dx} = \underbrace{{e^x}H(x - \xi )}_{uv} - \int \underbrace{e^x}_{u} \underbrace{\delta(x - \xi )}_{v'}dx= {e^x}H(x - \xi )-?e^\xi ?+C_1={e^x }H(x - \xi )+C.$$

Правда, эти манипуляции с $\delta$-ми подзабыл, но проверьте сами.

-- 20 окт 2009, 14:50 --

Понял. Надо было по-честному использовать определение $H(x)$ и никаких Дираков не привлекать.

[Falling_Tear]

Благодарю за разъяснение!
В интегрировании решила довериться на этот раз не себе, а матлабу с маткадом, вот они такое и выдали на пару...

[AD]

Алексей К. в сообщении #253290 писал(а):

$$\int \underbrace{e^x}_{u'} \underbrace{H(x - \xi )}_{v}dx} =\cdots={e^x }H(x - \xi )+C.$$

Нехорошо как-то. Неопределенный интеграл очень-очень хотел стать непрерывным.

[ewert]

Это потому, что $-?e^{\xi}?=-e^{\xi}H(x-\xi)$. Есть такая формула.

[Алексей К.]

Да... Нехорошо... Вспомнилось только то, что где-то там можно было действовать формально и не думая. А не думая, похоже, нельзя...
C привлечением этой штуки получилось $H(\xi)e^x+C$.

[arseniiv]

А можно узнать, что означает $?x?$?

Ааа, это была просто замена непонятного фрагмента