Исследовать на сходимость ряд

[ozhigin]

$a_n=\frac {(-1)^n n! (2n+1)!} {(3n)!}(27/4)^n$

Расписав факториалы по ф-ле Стирлинга я более менее увидел, что общий член не стремится к $0$ , но придется доказывать формулу Стирлинга, попроще есть способ?

-- Пн окт 19, 2009 20:39:23 --

да и кстати абсолютно не сходится!

[gris]

Там модуль что-ли стоит? Зачем тогда$(-1)^n$?
А по признаку Даламбера не пробовали?

[ozhigin]

это скобки, просто смотрел на решение , и перепечатал с модулем, поэтому Даламбер не катит!

[RIP]

Модули монотонно возрастают.

[gris]

$\frac {|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac { (n+1)! (2n+3)!} {(3n+3)!}\cdot \frac {(3n)!} {n! (2n+1)!}\cdot(27/4)=...$

Уже сказали...

[ewert]

ozhigin в сообщении #253068 писал(а):

но придется доказывать формулу Стирлинга, попроще есть способ?

И даже несмотря на возрастание, боюсь, что попроще -- будет явным извращением. Это задачка явно на формулу Стирлинга (пусть она даже и не доказана формально, но ведь она ж есть). Любой другой способ -- откровенно не пришей кобыле хвост, как бы ни оказался для любой частной ситуации изячен.

Просто на границе области сходимости единственным более-менее адекватным способом анализа (в более-менее общей ситуации) вляется именно та формула. Остальное -- ловля блох.

[ozhigin]

т.е. расходится?!

-- Пн окт 19, 2009 21:18:52 --

ненене отношение n=1-го к n-ому ничего не даёт там предел 1 равен!

[gris]

Это коэффициенты степенного ряда? :удивлённо:

[ozhigin]

нет! это обычный знакопеременный ряд

-- Пн окт 19, 2009 21:28:01 --

я не знаю почему ewert заговорил про область сходимости!

[ewert]

Потому, что подобного рода ряды естественным образом возникают только на границе области сходимости, в противном же случае это -- явное извращение.

[ozhigin]

ну так и что делать, сумбур какой-то

-- Пн окт 19, 2009 22:03:02 --

вариант друг подсказал сверху порядок $n^2$ внизу $n$

[ewert]

да применяйте тупо формулу Стирлинга, как все нормальные люди и делают, если, конечно, начальник не запретит.

[gris]

Всю ночь ряд снился. Уж я договорю для успокоения.

$\dfrac {|a_{n+1}|}{|a_n|}=\dfrac { (n+1)! (2n+3)!} {(3n+3)!}\cdot \dfrac {(3n)!} {n! (2n+1)!}\cdot(27/4)=...$

$=\dfrac { (n+1) (2n+2)(2n+3)} {(3n+1)(3n+2)(3n+3)}\cdot \dfrac {27} {4}=$

$=\dfrac { (n+1)(n+3/2)} {(n+1/3)(n+2/3)}>1\quad \forall n$

Значит по модулю члены ряда ограничены снизу $|a_1|=27/4$
То, что в пределе получается 1, ничего не значит.
Вернее, я подозреваю, что нужно было исследовать на сходимость не ряд, а последовательность $|a_n|$. Тогда хотя бы появляется какой-то смысл.

[RIP]

gris в сообщении #253209 писал(а):

Вернее, я подозреваю, что нужно было исследовать на сходимость не ряд, а последовательность $|a_n|$.

А лучше $\sum|a_n|^{-1}$.

[gris]

А может быть это действительно $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n!(2n+1)!}{(3n)!}x^n$