Задача на комплексные числа

[altro]

Помогите решить задачу: когда корни из одного и того же комплексного числа одинаковые: $\sqrt[n]{\ Z}=\sqrt[m]{\ Z}$ где m и n натуральные и >=2 ?

[VAL]

altro в сообщении #253017 писал(а):

Помогите решить задачу: когда корни из одного и того же комплексного числа одинаковые: $\sqrt[n]{\ Z}=\sqrt[m]{\ Z}$ где m и n натуральные и >=2 ?

Есть один тривиальный случай.
А при остальных $z$ множества корней для различных $m$ и $n$ совпадать не могут (хотя обязательно пересекаются).

[gris]

Наверное, при каких $n$ и $m$ есть совпадающие корни.

Корни можно представить графически, как точки, которые располагаются на окружностях равномерно для каждого показателя. Надо, чтобы совпадали окружности и чтобы совпадали некоторые точки.

А можно воспользоваться экспоненциальной формой числа.

[altro]

Именно, когда и при каком условии есть хотя бы один общий корень...

[gris]

Для каждого ненулевого комплексного числа есть $n$ корней n-ной степени и $m$ корней m-ной степени.
Если два числа равны, то равны их модули и аргументы. Достаточно намёков?

[altro]

А конкретнее, пожалуйста...

[gris]

уж куда конкретнее.
Сначала скажите необходимое условие. Для каких чисел $Z$ совпадения корней быть не может? То есть все они отличаются по мо...
А Вы можете записать экспоненциальную формулу Муавра? Или Вам ближе графичесий способ решения?

[altro]

если m=2, n=3, z=cos(п/3)+i*sin(п/3), то решений общих нет...

[gris]

Это совсем не то.
Пусть

$$z=r\cdot e^{i\varphi}$$

Тогда

$$\sqrt[n] z=...$$

Знаете эту формулу? Найдите её, а то я боюсь ошибиться
Корней должно быть ровно $n$

-- Пн окт 19, 2009 20:42:50 --

Возможно и правда сложноватая задача.
Ну немного продолжу.

$$\sqrt[n] z=\sqrt[n] r\cdot e^{i\dfrac{\varphi+2\pi k}{n}}\;\big|k=0..n-1$$

Отсюда следует, что если модуль числа $z$ не равен 1, то...
Пусть модуль равен 1.
Тогда нам нужны такие $n;m;0\leqslant k <n;0\leqslant l <m$ и такое $\varphi$, что

$$\dfrac{\varphi+2\pi k}n=\dfrac{\varphi+2\pi l}m$$

$$m\varphi+2\pi km=n\varphi+2\pi ln$$

$$(n-m)\varphi=2\pi (km-ln)$$

$$\varphi=\dfrac{2\pi(km-ln)}{n-m}$$

Отсюда следует, что если $\varphi\neq \pi q$, где $q$ рациональное, то...
Пусть $\varphi= \pi q$, где $q$ рациональное

[altro]

Вот именно, получается конечная формула, а что с ней делать? Нужно ответить на вопрос: сколько общих решений существует для данных m,n,z.

[ИСН]

Ответ довольно длинный, нудный, и в нём много ифов.

[VAL]

altro в сообщении #253353 писал(а):

Вот именно, получается конечная формула, а что с ней делать? Нужно ответить на вопрос: сколько общих решений существует для данных m,n,z.

Так это совсем другое дело! (Вначале вы требовали полного совпадения.)
Изобразите на плоскости корни, например 24-й и 18 степеней из 1 (они будут лежать на единичной окружности) Посмотрите, корни какой степени окажутся пересечением этих множеств. Перейдите от частного примера к общему правилу. Можно, конечно, и без картинки обойтись, но так нагляднее.

[gris]

Столько, сколько есть пар $(k;l)$ удовлетворяющих уравнению

$$q=\dfrac{2(km-ln)}{n-m}$$

при условии, что $|z|=1$ и
$\arg z=\varphi= \pi q$
знак поправил.

[VAL]

ИСН в сообщении #253359 писал(а):

Ответ довольно длинный, нудный, и в нём много ифов.

???
Впрочем, если три тривиальных случая - это много, тогда согласен.

[altro]

А нельзя ли как-то конкретно ответить на этот вопрос без проверок пар (k;l). Может m, n, q находятся в каком-то отношении, одинаковом для всех случаев?