Сходящиеся подпоследовательности.

[merlin]

Читаю доказательство непрерывности компактоно оператора и не понимаю.
Почему если последовательность не ограничена по норме из нее нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность?
Бальцано- Веерштрасса теорема вроде бы для конечномерных пространств работает.
Или она верна для любого метрического(нормированного пространства)?

[ewert]

merlin в сообщении #252763 писал(а):

Почему если последовательность не ограничена по норме из нее нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность?

Это неправда -- может быть, и можно. А в доказательстве должна упоминаться последовательность не просто неограниченная, а с нормами, стремящимися к бесконечности. Из неё, разумеется,сходящую подпоследовательность не извлечёшь (просто потому, что любая подпоследовательность не ограничена).

merlin в сообщении #252763 писал(а):

Бальцано- Веерштрасса теорема вроде бы для конечномерных пространств работает.

Эта теорема тут не при чём. С другой стороны: в конечномерном случае и вопрос о компактности оператора не имеет смысла (в том смысле, что любой оператор компактен).

[merlin]

А можно объяснить почему любая подпоследовательность у такой последовательности не ограничена?

[ewert]

Если последовательность стремится к чему-то (не важно, в каком смысле и не важно, к чему -- пусть и к бесконечности) -- то это же верно и для любой подпоследовательности.

[merlin]

Попробую поискать доказательство этого в математическом анализе

[ИС]

А вот это вот

Цитата:

Если последовательность стремится к чему-то (не важно, в каком смысле и не важно, к чему -- пусть и к бесконечности) -- то это же верно и для любой подпоследовательности.

можно доказать вот так вот?

Возьмем какое-нибудь фиксированое $E>0$. елси последовательность ${x_n}$ сходиться к а, то найдется такое $N$ для которого при $n>N $ выполняется (1) $|x_n - a| < E.$
Если мы из этой последовательности получили подпоследовательность выкидыванием элементов с номерами меньше N то на выполнении (1) это никак не отразится. А елси мы выкидывали и элементы с номерами большими чем N, то тоже никакого отрицательного эффекта не произойдет. Ведь если выкинуть из какого-нибудь множества элементов удовлетворяющих условию (1) некоторые элементы, то оставшиеся элементы от этого не изменятся и тоже будут удовлетворять этому условию (1).

[ewert]

Тут возможны два подхода. Один -- вообще ничего не доказывать (в силу очевидности). А если доказывать -- то аккуратно; у Вас этого не наблюдается.

Пусть $\{a_n\}$ -- последовательность и $\{a_{n_k}\}$ -- подпоследовательность. Стремление $a_n$ к $a$ означает, что по любому $\varepsilon>0$ найдётся такое $N=N(\varepsilon)$, что из $n>N$ следует $|a_n-a|<\varepsilon$. Далее, для каждого $N$ найдётся $K=K(N)$ такое, что из $k>K$ следует $n_k>N$. Итого: по любому $\varepsilon>0$ найдётся такое $K=K(N(\varepsilon))$, что из $k>K$ следует $|a_{n_k}-a|<\varepsilon$. Т.е. $a_{n_k}$ стремится к $a$.