Вопрос по формуле Тейлора

[ИС]

Формула Тейлора
имеет вид
$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_{n+1}(x)$
или
$f(x) = \phi(x,a) + R_{n+1}(x) $

А вот исходя из чего можно прийти к такому виду $\phi(x,a)$ ?...

Вот это вот похоже на формолу Лагранжа $f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a)...$
хм... а на основе каких соображений были "придуманы" остальные слогаемые?

[Полосин]

Если $f$ - многочлен степени не выше $n$, то $R_{n+1}=0$.

[ИС]

Полосин
согласен... и что из этого?

[ShMaxG]

ИС
Ну вы спрашивали - как можно придти. Так - можно. Типа предположение. В Зориче, например, сразу после этого предположения оценивается остаточный член $\[{R_{n + 1}}\left( x \right)\] $.

[ИС]

ShMaxG
Аха... пойду гляну в Зориче =)

[ShMaxG]

Можете еще в Кудрявцеве посмотреть. Типа, если функция $y=f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную, то ее приращение можно представить в виде: $\[\Delta y = A\Delta x + o\left( {\Delta x} \right),\Delta x \to 0\]$
Ну т.е. существует линейная функция $\[{P_1}\left( x \right) = {y_0} + A\left( {x - {x_0}} \right)\]$, такая что $\[f\left( x \right) = {P_1}\left( x \right) + o\left( {x - {x_0}} \right),x \to {x_0}\]$.

И по аналогии расписывает, когда функция $n$-раз дифференцируема и пр.

[Mathusic]

ИС в сообщении #252609 писал(а):

Формула Тейлора
имеет вид
$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_{n+1}(x)$
или
$f(x) = \phi(x,a) + R_{n+1}(x) $

А вот исходя из чего можно прийти к такому виду $\phi(x,a)$ ?...

Вот это вот похоже на формолу Лагранжа $f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a)...$
хм... а на основе каких соображений были "придуманы" остальные слогаемые?

Посмотрите Формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме (в том же Зориче 1 том). Очень наглядно (правда немного вперёд забегает).