Сумма ряда

[osorokina]

Никак не вспомню как сумму ряда посчитать $ S(p)=\sum_{i}(k*p^k*(1-p)) , 0<p<1 $ Это вроде бесконечная геометрическая убывающая прогрессия,нужно найти ее предел соответственно.. Только как дальше?

[nworm]

osorokina писал(а):

$ S(p)=\sum_{i}(k*p^k*(1-p)) , 0<p<1 $

Имеется в виду
$ S(p)=\sum_{k=1}^{\infty}(k*p^k*(1-p)) , 0<p<1 $?

[juna]

Если сумма бесконечна, то Вам поможет:
$\frac{a}{(1-a)^2}=a+2a^2+3a^3+...$

[Imperator]

osorokina
Распишите $S(p)$ как сумму двух рядов, а затем найдите суммы полученных отдельно, пользуясь дифференцированием и интегрированием равномерно сходящихся рядов.
Используйте то, что $p+p^{2}+p^{3}+...=\frac{p}{1-p}$.

[juna]

Если все же имеется в виду конечное выражение, то использование разностных методов дает:
$\sum\limits_{i=1}^{N}ip^i=\frac{(N+1)p^{N+1}}{p-1}-\frac{p}{p-1}-\frac{p^{N+2}}{(p-1)(p-1)}+\frac{p^2}{(p-1)(p-1)}$