Случайные процессы

[икс и грек]

Дан процесс $X(t)=\min(Y,t), t \geq 0$. $Y$ распределена равномерно на $[0,a]$. Найти $EX$ и $DX$. Правда ли, что $EX=E(Y|Y\leq t) +E(t|Y>t)$? Если да, то как найти $E(X^2)$?

[--mS--]

Нет, не правда. Это противоречит формуле полной вероятности. Единицу можно разбить в сумму двух индикаторов: $1=I(Y\leq t)+I(Y>t)$, поэтому

$$ \mathsf EX = \mathsf E(X\cdot 1)= \mathsf E(X\cdot I(Y\leq t))+ \mathsf E(X\cdot I(Y>t)) = \mathsf E(Y; \ Y\leq t) + \mathsf E(t; \ Y>t). $$

Последнее матожидание есть $t \mathsf P(Y > t)$, первое вычисляется интегрированием по множеству $Y\leq t$. Так же вычисляются и другие моменты.

[икс и грек]

--mS-- в сообщении #252264 писал(а):

Последнее матожидание есть $t \mathsf P(Y > t)$, первое вычисляется интегрированием по множеству $Y\leq t$. Так же вычисляются и другие моменты.

То есть надо найти $\int_{\{Y \leq t\}} zp_Y(z)dz$? Как это сделать?

[--mS--]

икс и грек в сообщении #252275 писал(а):

То есть надо найти $\int_{\{Y \leq t\}} zp_Y(z)dz$? Как это сделать?

Нет, найти надо $\int_{\{z \leq t\}} zp_Y(z)dz$. Да вот так и сделать: взять и проинтегрировать.