Разложение корня из числа в бесконечный ряд

[--Кирилл--]

Здравствуйте!
Помогите пожалуйста разобраться.
Как делается разложение корня любой степени из числа в бесконечный ряд? Нашел формулу для разложения (она есть в статье арифметический корень в Википедии). Пробую разложить, но результат не соответствует значению корню. Не пойму, если это формула для разложения корня любого числа, то как тогда может быть |x| < 1 ? А если мне надо разложить например корень степени 3/7 из 10. Короче, кто разбирается, подскажите пожалуйста.
Формула для разложения следующая:

\[(1 + x)^{\frac{s}{t}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\prod\limits_{k = 0}^n {(s + t - kt)} }}{{(s + t)n!t^n }}} x^n \]

, где |x| < 1
Заранее благодарен

[Руст]

Какая то корявая у вас формула. Проще писать так:

$$(1+x)^a=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{a}{n}x^n,$$

где $\binom{a}{0}\equiv 1\equiv x^0$ и $\binom{a}{n}=\frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}$.
В вашем случае $x=-\frac{4}{7}, \ a=\frac{1}{10}$.

[worm2]

--Кирилл-- писал(а):

если это формула для разложения корня любого числа, то как тогда может быть |x| < 1 ?

Это формула для вычисления корня не из любого числа, а только из такого, для которого |x| < 1.
Чтобы возвести число, большее двух, в дробную степень, нужно его умножить и поделить на удобное число из которого легко извлекается корень, но чтобы частное от деления получилось уже меньше двух, например в Вашем примере:
$10^{7/3}=8^{7/3}\cdot(10/8)^{7/3}=128\cdot(1+1/4)^{7/3}$, и теперь уже можно пользоваться формулой.
Ещё вариант:
$10^{7/3}=27^{7/3}\cdot(10/27)^{7/3}=2187\cdot(1-17/27)^{7/3}$.
Кроме того, в данном конкретном случае можно воспользоваться тем, что $A^{7/3}=A^2\cdot A^{1/3}$, что может упростить вычисления.

[iogun]

А как извлечь корень 8-й степени из 6?

[RIP]

iogun в сообщении #252368 писал(а):

А как извлечь корень 8-й степени из 6?

worm2 в сообщении #116971 писал(а):

Чтобы возвести число, большее двух, в дробную степень, нужно его умножить и поделить на удобное число из которого легко извлекается корень, но чтобы частное от деления получилось уже меньше двух

Например, можно "заметить", что $6\approx(5/4)^8$, поэтому
$6^{1/8}=5/4\cdot\bigl(6\cdot(4/5)^8\bigr)^{1/8}=5/4\cdot(1+2591/390625)^{1/8}.$
Можно, конечно, взять приближение и погрубее $6^{1/8}\approx4/3$, тогда
$6^{1/8}=4/3\cdot(1-13085/32768)^{1/8}.$
А можно и совсем грубо: $6<2^8$, поэтому
$6^{1/8}=2\cdot(1-125/128)^{1/8}.$