Алгебра. Лемма (критерий цикличности модуля)

[RichardZorgi]

Пусть $M_R^\varphi$ - модуль, $\chi_\varphi(x) = g^q(x)$, где $g(x)$ - неприводим (т.е. характеристический многочлен заданного преобразования $\varphi$ - некоторая степень неприводимого многочлена $g(x)$). $m_\varphi(x) = g^m(x)$ - минимальный многочлен преобразования $\varphi$; $\alpha \in M_R^\varphi : m_{\varphi,\alpha}(x) = m_\varphi(x)$, где m_{\varphi, \alpha}(x)$ - минимальный многочлен вектора $\alpha$. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) $M_R^\varphi = A$ - циклический модуль.
2) $Ker\ g(\varphi)$ - циклический модуль.($Ker\ g(\varphi)$ - состоит из всех векторов, которые аннулируются $g(x)$).
3) $Ker\ g(\varphi) \subseteq A$


p.s. - здесь я обозначил А - множество всех векторов, которые можно получить с помощью вектора $\alpha$ путём применения $\varphi$ - обычно записывается как базис в виде $(\alpha,\ \varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),... $). Не знаю почему, но не хочу так записывать в самих пунктах. Может быть просто будет понятнее.
Так вот. Помогите пожалуйста доказать, что из 1) следует 2). Похожий критерий есть для групп, там всё просто. Думаю, что здесь тоже всё не очень сложно... Сам никак не могу сообразить - заклинило , нужны новые идеи (а может кто-нибудь просто знает решение). Я считал, что подмодуль циклического модуля тоже циклический, однако это в общем случае не верно.
p.p.s. подскажите пожалуйста как из вектора $\alpha$ получить вектор $\beta$, минимальный многочлен которого $m_{\varphi,\beta} = g(x)$? Была мысль, что надо применить преобразование $\varphi$ (m-1) раз - не катит, нужно как-то ещё.

Надеюсь, что проблем с обозначениями не возникнет ( в том смысле, что они общепринятые)

[RichardZorgi]

Исправляю косяки. (функция редактирования предыдущего сообщения - не доступна)


Пусть $M_R$ - модуль, $\chi_\varphi(x)=g^q(x)$, где $g(x)$- неприводим (т.е. характеристический многочлен преобразования $\varphi$ ($\varphi$ - эндоморфизм) - некоторая степень неприводимого многочлена $g(x)$). $m_\varphi(x) = g^m(x)$ - минимальный многочлен преобразования $\varphi$; $\alpha \in M_R^\varphi : m_{\varphi,\alpha}(x) = m_\varphi(x)$, где m_{\varphi, \alpha}(x)$ - минимальный многочлен вектора $\alpha$. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) $M_R = M_R^\varphi(\alpha)$ - циклический модуль.
2) $Ker\ g(\varphi)$ - циклический подмодуль.($Ker\ g(\varphi)$ - состоит из всех векторов, которые аннулируются $g(\varphi)$).
3) $Ker\ g(\varphi)\subseteq M_R^\varphi(\alpha)$

[RichardZorgi]

удалите пожалуйста тему