Проверить, что множество - линейное пространство

[Stolen]

Как решить данную задачу?

Пусть U - множество всех 2x2-матриц с вещественными коэффициентами, с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число. Проверить, что U - линейное пространство.

[gris]

Можно проверить аксиомы линейного пространства. Но в данном случае матрица - это просто вектор длины 4.
Если Вы знакомы с понятием изоморфизма, то можно использовать его.

[Stolen]

С изоморфизмом не знаком.
А как проверить аксиомы?

[gris]

То что сумма матриц и произведение матрицы на число тоже является матрицей того же размера. Проверить коммутативность сложения, дистрибутивность, существование нуля и противоположного элемента.
От Вас требуется вспомнить и проверить все аксиомы, чтобы их запомнить на всю жизнь.

[AD]

gris в сообщении #251911 писал(а):

Если Вы знакомы с понятием изоморфизма, то можно использовать его.

Заметил тут маааленькую методическую тонкость: обычно определяется только "изоморфизм линейных пространств", и поэтому для того, чтобы говорить об изоморфизме, надо уже знать, что оба пространства - линейные. Либо вводить изоморфизм в каком-то более широком смысле (в котором все и так его интуитивно понимают) но вроде бы обычно так не делают (хотя это и просто, но не встречал).

-- Чт окт 15, 2009 20:24:47 --

Stolen в сообщении #251917 писал(а):

А как проверить аксиомы?

Прежде всего надо понять, что это всё - никакие не аксиомы. Это требования.

То есть если ты - множество с двумя операциями определенного вида ("сложение" и "умножение на число"), и ты удовлетворяешь этим требованиям, то тебе вручают такую вот медаль, ну или диплом что-ли, что ты есть линейное пространство.

А теперь - представьте, что Вы сидите на в комиссии, выдающей эти дипломы, и Вам поступила заявка от конкретного множества с конкретнрой парой операций. А именно, множество матриц вот это Ваше. Вручите ли Вы ему диплом?

То есть Вы должны взять список требований, и множество Ваше по пунктикам проверять. Ну как проверить коммутативность сложения? Очень просто. Нужно перебрать все пары матриц

$$\left(A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right),B=\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\end{matrix}\right)\right)$$

и убедиться, что $A+B=B+A$. Хоть матриц и много, но математиков такие вещи не пугают. При этом Вы считаете известным, что подобный закон уже проверен для чисел. А раз матрицы состоят из чисел, то ... Короче, смотрим:

$$A+B=\left(\begin{matrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{matrix}\right)\qquad\text{и}\qquad B+A=\left(\begin{matrix}b_{11}+a_{11}&b_{12}+a_{12}\\ b_{21}+a_{21}&b_{22}+a_{22}\end{matrix}\right)$$

И теперь делаем очень глубокомысленное заключение: так как $a_{11}+b_{11}=b_{11}+a_{11}$, то у этих матриц левый верхний коэффициент одинаковый!! Доказательство того, что остальные коэффициенты у них тоже одинаковые, оставлю в качестве упражнения. А когда Вы с ним благополучно справитесь, то равенство $A+B=B+A$ будет установлено потому, что матрицы [одного размера] равны тогда и только тогда, когда совпадают все их коэффициенты; это такое определение равенства матриц.

Всё, дальше сами.

[gris]

AD, согласен.
Я и имел в виду этакий бытовой изоморфизм. Наверняка было уже доказано, что $R^4$ векторное пространство, а с точки зрения операций сложения и умножения на число матрицу $2 \times 2$ можно представить как вектор. Но как-то нестрого это. Легче по свойствам пробежаться.