Помогите найти сумму кубов нечетных чисел

[saau16]

Помогите найти сумму $1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3$

[meduza]

Может $1^3+3^3+...+(2n-1)^3$? Сначала ваша попытка решения.

[ewert]

Самый тупой способ: ищите её в виде $S(n)=an^4+bn^3+cn^2+dn+e$. Потребуйте, чтобы $S(n+1)-S(n)$ было равно тому, чему положено -- получите систему из 4-х уравнений с 5-ю неизвестными. Недостающее уравнение получается из $S(1)=1$.

[meduza]

saau16
Можно найти несколько первых частичных сумм и, если вы догадливый, угадать общую формулу (если нет -- то можно воспользоваться подсказкой на http://www.research.att.com/~njas/sequences/). Потом эту формулу просто нужно доказать по индукции.

[gris]

А формулу суммы кубов всех натуральных чисел от $1$ до $2n$ помните? Я бы из неё вычел сумму кубов чётных чисел, из которой можно вынести за скобку $8$

[Бодигрим]

Кстати, я тут недавно на школьном кружке детям рассказывал про формулы для сумм степеней натуральных чисел и задумался над следующим. Вот для первой степени соответствующие формулы $\sum_{k=1}^n k=n(n+1)/2$ и $\sum_{k=1}^n (2k-1)=n^2$ имеют наглядные геометрические "доказательства". Можно ли придумать аналогичные геометрические построения хотя бы для сумм квадратов? Или для $\sum_{k=1}^n k^3 = {\left(\sum_{k=1}^n k\right)}^2$ - неужели настолько "геометрическое" утверждение не позволяет "геометрического" же доказательства?

[gris]

Тут есть детсадовское доказательство с кубиками.
Установим единичный кубик в угол. К нему вдоль одной стенки приложим два кубика. К этим двум перпендикулярно ещё два и на этих четыре ещё четыре. То есть у нас получится куб $2\times 2 \times 2$. К нему таким же образом пристыкуем куб $3\times 3 \times 3$ и так далее, пока хватит кубиков.
Пусть у нас хватило, чтобы построить целиком куб $n\times n\times n$.
Всего мы истратили кубиков столько, сколько получится при суммировании кубов от одного до $n$.
Обратим внимание, что у нас вдоль одной стеночки выстроилась как раз сумма от одного до $n$ кубиков.
Теперь проведём черту или положим дощечки перпендикулярно стеночкам. У нас отгородится квадрат с длиной стороны равной сумме от одного до $n$.
Теперь начнём укладывать все кубики в один слой.
Опа! Они как раз заполнили весь квадрат без пропусков!

[nn910]

Бодигрим в сообщении #251088 писал(а):

Или для $\sum_{k=1}^n k^3 = {\left(\sum_{k=1}^n k\right)}^2$ - неужели настолько "геометрическое" утверждение не позволяет "геометрического" же доказательства?

Берем бесцельное интегрирование (первообразная от куба "не известна")
$(\int_0^a{xdx})^2=\int_0^a \int_0^a {xydxdy}=\int_0^a \int_0^a {(\dfrac{(x+y)^2}{4}-\dfrac{(x-y)^2}{4})dxdy}=$
$\int_0^a {(\dfrac{(a+y)^3}{12}-\dfrac{y^3}{12}-\dfrac{(a-y)^3}{12}-\dfrac{y^3}{12})dy=$
$\int_0^a {\dfrac{(a+y)^3}{12}dy}-3 \int_0^a {\dfrac{y^3}{12} dy}=$$\int_a^{2a} {\dfrac{y^3}{12}dy}-3 \int_0^a {\dfrac{y^3}{12} dy}=$
$=\int_0^{2a} {\dfrac{y^3}{12}dy}-4 \int_0^a {\dfrac{y^3}{12} dy}=16\int_0^a {\dfrac{y^3}{12}dy}-4 \int_0^a {\dfrac{y^3}{12} dy}= \int_0^a {y^3 dy}$ и дискретизировать как-нибудь

[Бодигрим]

gris, у вас получилось не доказательство, а некая демонстрация, в ходе которой совершенно не очевидно, что утверждение окажется истинным для любого порядка. Вот когда я складываю нечетные числа, представляя их гномонами из кубиков, то совершенно очевидно, что на любом шаге получается квадратик, что и утверждает алгебраическая форма записи.

nn910, увы, хочется чего-то наглядного-наглядного и доступного восьмикласснику. Как в приведенном мною примере про сумму последовательных нечетных чисел.

[nn910]

БодигримЯ еще не готов. Но в третьем выражении квадраты с картинки Пифагора, и что-то из них построить дискретное

[TOTAL]

Бодигрим в сообщении #251088 писал(а):

Вот для первой степени соответствующие формулы $\sum_{k=1}^n k=n(n+1)/2$ и $\sum_{k=1}^n (2k-1)=n^2$ имеют наглядные геометрические "доказательства".

Какие здесь геометрические доказательства?

[gris]

Бодигрим, а такой расклад Вас не убедит? Это же практически индукция. Да и от детсада вы слишком много хотите.

[tolstopuz]

gris в сообщении #251121 писал(а):

а такой расклад Вас не убедит?

Ой, это нагляднее, чем на картинке здесь:

http://en.wikipedia.org/wiki/Squared_triangular_number

[Батороев]

У меня есть симпатичная картинка, но по-видимому, не имеющая отношения к вопросу Бодигрима.

Выложить ее здесь я не сумею, а на словах она выглядит так:
Рисуем окружности, символизирующие треугольные числа.
Соединяем центры окружностей. Получаем треугольники, которые символизирую квадрат соответствующего числа.
Т.е. количество маленьких треугольников в $n$ рядах, начиная сверху, равно $n^2$.

Если полученные треугольники мысленно представить, как вид сбоку объемной правильной четырехугольной пирамиды, то маленькие треугольники будут символизировать строительный элемент - пирамидальный кирпичик (пирамидка). Кроме таких кирпичиков для заполнения пустот понадобятся строительные элементы в виде тетраэдров с гранями, равными граням пирамидок (их объем равен половине объема пирамидок). Кто обладает хорошим объемным воображением может представить себе технологию строительства таких пирамид, но в условиях антигравитации - сверху-вниз.

Сами же пирамиды символизируют $n^3$. Т.е. в первом слое 1 пирамидка - это $1^3$.
При строительстве второго слоя ставим 4 пирамидки квадратом. Между ними вставляем перевернутую пятую пирамидку. Пустоты заполняем четырьмя тетраэдрами.
Итого имеем объем второго слоя, равный объему $5+\dfrac{4}{2}=7$ пирамидок.
Построив двухслойную пирамиду, получаем ее объем, равный объему $1+7=8=2^3$ пирамидок и т.д.

-- Пн окт 12, 2009 20:36:28 --

Кстати, если шары уложить в виде четырехугольной пирамиды, то получаем кучку в виде суммы квадратов.
Но что с этой кучкой можно сделать для доказательства того, что хотел Бодигрим, пока не придумал.

-- Пн окт 12, 2009 20:42:46 --

Бодигрим в сообщении #251088 писал(а):

Можно ли придумать аналогичные геометрические построения хотя бы для сумм квадратов? Или для $\sum_{k=1}^n k^3 = {\left(\sum_{k=1}^n k\right)}^2$ - неужели настолько "геометрическое" утверждение не позволяет "геометрического" же доказательства?

Бодигрим, так Вам надо, по-видимому, для сумм кубов?

[Shtirlic]

Бодигрим,
Насчет суммы квадратов, я так посмотрел, такая идея должна дать результаты, до конца ее я еще не довел. В соотвествие каждому слагаемому $k^2$ берите параллелипипед k*k*1, самый большой кладете внизь плашмя, на него кладете следующий в угол (тоже плашмя) и т.д., получаете недоделанный куб n*n*n, находите дополнение до куба (выражение будет содержать суммы квадратов) и отнимаете его от объема всего куба (это есть сумма квадратов). В итоге сумму квадратов можно будет выразить через кубическое уравнение. Если будет интересно, я потом вылажу подробное решение.